Определённые интегралы, интегрирование рациональных тригонометрических выражений

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (Определённые интегралы, интегрирование рациональных тригонометрических выражений)

Рассмотрим задачу 29.18:

 \int\limits_{\arcsin(2/5)}^{\arcsin(\sqrt{5}/5)} \frac{2\tg x + 5}{(5 - \tg x)\sin 2x} \, dx 

Шаг 1. Замена переменной

Заменим переменную:
Пусть [t = \tg x].
Тогда производная [dt = \frac{1}{\cos^2 x} dx]
Также используем формулу:
\sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{2\tg x}{1 + \tg^2 x} = \frac{2t}{1 + t^2}

Но это слишком громоздко. Попробуем другой путь — выразим всё через [\tg x = t] и преобразуем числитель и знаменатель.

Шаг 2. Представим подынтегральную функцию

Выражение:

 \frac{2\tg x + 5}{(5 - \tg x)\sin 2x} 

Воспользуемся формулой:

\sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{2\tg x}{1 + \tg^2 x}

Тогда:

 \frac{2\tg x + 5}{(5 - \tg x)\cdot \frac{2\tg x}{1 + \tg^2 x}} = \frac{2\tg x + 5}{(5 - \tg x)} \cdot \frac{1 + \tg^2 x}{2\tg x} 

Обозначим [\tg x = t], тогда:

 \frac{2t + 5}{5 - t} \cdot \frac{1 + t^2}{2t} 

Шаг 3. Подстановка и пределы интегрирования

Если [x = \arcsin(2/5)], то:

\sin x = \frac{2}{5} \Rightarrow \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/5}{\sqrt{1 - (2/5)^2}} = \frac{2/5}{\sqrt{21}/5} = \frac{2}{\sqrt{21}}

Аналогично, если [x = \arcsin(\sqrt{5}/5)]:

\sin x = \frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \tg x = \frac{\sqrt{5}/5}{\sqrt{1 - (\sqrt{5}/5)^2}} = \frac{\sqrt{5}/5}{\sqrt{4/5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{1}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}

Итак, пределы интегрирования:

 t \in \left[\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{1}{2}\right] 

Шаг 4. Новый интеграл

Подставим всё в интеграл:

 \int\limits_{2/\sqrt{21}}^{1/2} \left( \frac{2t + 5}{5 - t} \cdot \frac{1 + t^2}{2t} \right) \cdot \frac{dt}{1 + t^2} 

Сократим [1 + t^2]:

 \int\limits_{2/\sqrt{21}}^{1/2} \frac{2t + 5}{5 - t} \cdot \frac{1}{2t} \, dt 

Шаг 5. Упростим выражение

 \frac{2t + 5}{5 - t} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{2t + 5}{2t(5 - t)} 

Теперь интеграл:

 \int\limits_{2/\sqrt{21}}^{1/2} \frac{2t + 5}{2t(5 - t)} \, dt 

Разложим на простейшие дроби:

 \frac{2t + 5}{2t(5 - t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{5 - t} 

Домножим обе части на [2t(5 - t)]:

 2t + 5 = A \cdot 2(5 - t) + B \cdot 2t 

Раскроем скобки:

 2t + 5 = 10A - 2At + 2Bt 

Соберем по степеням t:

 2t + 5 = (2B - 2A)t + 10A 

Приравниваем коэффициенты:

1. [2 = 2B - 2A]
2. [5 = 10A] → [A = \frac{1}{2}]

Подставим в первое:

 2 = 2B - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2B - 1 \Rightarrow 2B = 3 \Rightarrow B = \frac{3}{2} 

Шаг 6. Интегрируем

 \int\limits_{2/\sqrt{21}}^{1/2} \left( \frac{1}{2t} + \frac{3}{2(5 - t)} \right) dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt + \frac{3}{2} \int \frac{1}{5 - t} dt 

Второй интеграл: заменим переменную [u = 5 - t], тогда [du = -dt], а пределы:

• при [t = 2/\sqrt{21}] → [u = 5 - 2/\sqrt{21}]
• при [t = 1/2] → [u = 5 - 1/2 = 9/2]

Но проще оставить как есть:

 = \frac{1}{2} \left[ \ln |t| \right]_{2/\sqrt{21}}^{1/2} + \frac{3}{2} \left[ -\ln |5 - t| \right]_{2/\sqrt{21}}^{1/2} 

Вычислим:

1. \frac{1}{2} \left( \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{2}{\sqrt{21}} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{\sqrt{21}}{4} \right)
2. \frac{3}{2} \left( -\ln(5 - 1/2) + \ln(5 - 2/\sqrt{21}) \right) = \frac{3}{2} \ln \left( \frac{9/2}{5 - 2/\sqrt{21}} \right)

Ответ:

 \frac{1}{2} \ln \left( \frac{\sqrt{21}}{4} \right) + \frac{3}{2} \ln \left( \frac{9/2}{5 - 2/\sqrt{21}} \right) 

Или в виде одного логарифма:

 \ln \left( \left( \frac{\sqrt{21}}{4} \right)^{1/2} \cdot \left( \frac{9/2}{5 - 2/\sqrt{21}} \right)^{3/2} \right)