Определить является ли F(x) первообразной для f(x)

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Неопределённый интеграл

Разберём по порядку каждое задание:

Задание 1

Формулировка:
Функция F(x) = e^{-x} является одной из первообразных функции f(x).

Найдём производную функции F(x) = e^{-x}:

F'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}

Значит, f(x) = -e^{-x}.
Нас спрашивают, является ли F(x) первообразной для f(x). Да, так как производная совпадает.

Ответ:
f(x) = -e^{-x}
Правильный вариант: 2) -e^-x

Задание 2

Формулировка:
Множество всех первообразных функции f(x) = \frac{1}{x}.

Знаем, что:  \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C 

Это и есть множество всех первообразных.

Ответ:
\ln|x| + C
Правильный вариант: 1) ln|x| + C

Задание 3

Формулировка:
Найти неопределённый интеграл:

 \int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}} 

Рассмотрим стандартную формулу:  \int \frac{dx}{\sqrt{1 - a^2x^2}} = \frac{1}{a} \arcsin(ax) + C 

В нашем случае a = 2, тогда:

 \int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}} = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C 

Ответ:
\frac{1}{2} \arcsin(2x) + C
Правильный вариант: 3) (1/2) arcsin(2x) + C

✅ Итоговые ответы:

1. 2) -e^-x
2. 1) ln|x| + C
3. 3) (1/2) arcsin(2x) + C