Определить сходится ли несобственный интеграл

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ (интегралы, несобственные интегралы)

Задание: Определить, сходится ли несобственный интеграл \(\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x} \).

Прежде чем приступить к решению, напомним, что несобственный интеграл сходится, если его предел существует и конечен. Запишем данный несобственный интеграл: \[ \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x} \]

Для определения сходимости этого интеграла воспользуемся пределом интеграла: \[ \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \frac{dx}{x \ln^2 x} \]

Введем замену переменной, чтобы упростить интеграл: Пусть \(\ln x = t\). Тогда \(x = e^t\) и \(dx = e^t dt\). Теперь перепишем пределы интегрирования на новом языке \(t\):

• Когда \(x = 2\), то \( \ln 2 = t_1 \).
• Когда \(x \to \infty\), то \(t \to \infty\).

Подставляем замену в интеграл: \[ \int_{2}^{b} \frac{dx}{x \ln^2 x} = \int_{\ln 2}^{\ln b} \frac{e^t dt}{e^t \cdot t^2} = \int_{\ln 2}^{\ln b} \frac{dt}{t^2} \]

Теперь можно заняться самим интегралом. Интеграл от \( \frac{1}{t^2} \) можно выразить как: \[ \int_{a}^{b} t^{-2} dt = \left[ -t^{-1} \right]_{a}^{b} = -\frac{1}{t} \bigg|_{a}^{b} = -\frac{1}{b} + \frac{1}{a} \]

Теперь подставляем пределы интегрирования: \[ \int_{\ln 2}^{\ln b} \frac{dt}{t^2} = \left[ -\frac{1}{t} \right]_{\ln 2}^{\ln b} = \left( -\frac{1}{\ln b} + \frac{1/{\ln 2} \right) \]

Нам нужно найти предел при \(b\) стремящемся к бесконечности: \[ \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}/{\ln b} + \frac{1}/{\ln 2} \right) \]

Поскольку \(\frac{1}/{\ln b}\) стремится к нулю при \(b \to \infty\), результат разложения будет: \[ \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}/{\ln b} + \frac{1}/{\ln 2} \right) = -0 + \frac{1}/{\ln 2} = \frac{1}/{\ln 2} \]

Таким образом, интеграл сходится к \( \frac{1}/{\ln 2} \), что является конечным числом. Следовательно, несобственный интеграл \(\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x} \) сходится.