Определить объём продукции за 25 рабочих дней для бригады из 17 человек, если производительность одного рабочего описывается функцией

Предмет:

Математика

Раздел:

Математический анализ (интегралы)

Задача:

Определить объём продукции за 25 рабочих дней для бригады из 17 человек, если производительность одного рабочего описывается функцией \(z(t) = 41t - 4.83t^2\), где \(t\) — время в часах.

План решения:

1. Вычислить объём продукции, произведённой одним рабочим за одну смену длиной 8 часов.
2. Для этого необходимо проинтегрировать функцию \(z(t)\) по времени \(t\) от 0 до 8 часов.
3. Затем умножить результат на количество рабочих в бригаде (17) и количество рабочих дней (25).

Шаг 1: Интегрирование функции \(z(t)\)

Функция: \[ z(t) = 41t - 4.83t^2 \]

Производительность одного рабочего за смену равна интегралу этой функции по времени \(t\) от 0 до 8:

\[ \int_{0}^{8} z(t) \, dt = \int_{0}^{8} (41t - 4.83t^2) \, dt \]

Вычислим интеграл:

\[ \int 41t \, dt = \frac{41t^2}{2}, \quad \int 4.83t^2 \, dt = \frac{4.83t^3}{3} \]

Теперь посчитаем интеграл на отрезке от 0 до 8:

\[ \int_{0}^{8} (41t - 4.83t^2) \, dt = \left[ \frac{41t^2}{2} - \frac{4.83t^3}{3} \right]_{0}^{8} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ = \left( \frac{41 \cdot 8^2}{2} - \frac{4.83 \cdot 8^3}{3} \right) - \left( \frac{41 \cdot 0^2}{2} - \frac{4.83 \cdot 0^3}{3} \right) \]

Это даёт:

\[ = \frac{41 \cdot 64}{2} - \frac{4.83 \cdot 512}{3} \]

\[ = 1312 - 824.44321 = 487.55679 \]

Таким образом, один рабочий производит 487.56 единицы продукции за смену.

Шаг 2: Рассчитаем объём продукции для всех рабочих и дней

Теперь умножим полученное значение на количество рабочих (17 человек) и количество рабочих дней (25):

\[ 487.56 \cdot 17 \cdot 25 = 207519 единиц продукции \]

Ответ:

Объём продукции, произведённый бригадой из 17 человек за 25 рабочих дней, составляет 207519 единиц продукции.