Определить объём продукции за 25 рабочих дней для бригады из 17 человек, если производительность одного рабочего описывается функцией

Предмет:

Математика

Раздел:

Математический анализ (интегралы)

Задача:

Определить объём продукции за 25 рабочих дней для бригады из 17 человек, если производительность одного рабочего описывается функцией $\text{(}z(t)=41t-4.83t^2\text{)}$, где $\text{(}t\text{)}$ — время в часах.

План решения:

1. Вычислить объём продукции, произведённой одним рабочим за одну смену длиной 8 часов.
2. Для этого необходимо проинтегрировать функцию $\text{(}z(t)\text{)}$ по времени $\text{(}t\text{)}$ от 0 до 8 часов.
3. Затем умножить результат на количество рабочих в бригаде (17) и количество рабочих дней (25).

Шаг 1: Интегрирование функции $\text{(}z(t)\text{)}$

Функция: $\text{[}z(t)=41t-4.83t^2\text{]}$

Производительность одного рабочего за смену равна интегралу этой функции по времени $\text{(}t\text{)}$ от 0 до 8:

$\text{[}{\int }_0^{8}z(t)dt={\int }_0^8(41t-4.83t^2)dt\text{]}$

Вычислим интеграл:

$\text{[}\int 41tdt=\frac{41t^2}{2},\int 4.83t^{2}dt=\frac{4.83t^3}{3}\text{]}$

Теперь посчитаем интеграл на отрезке от 0 до 8:

$\text{[}{\int }_0^8(41t-4.83t^2)dt={[\frac{41t^2}{2}-\frac{4.83t^3}{3}]}_0^8\text{]}$

Подставляем пределы интегрирования:

$\text{[}=(\frac{41\cdot 8^2}{2}-\frac{4.83\cdot 8^3}{3})-(\frac{41\cdot 0^2}{2}-\frac{4.83\cdot 0^3}{3})\text{]}$

Это даёт:

$\text{[}=\frac{41\cdot 64}{2}-\frac{4.83\cdot 512}{3}\text{]}$

$\text{[}=1312-824.44321=487.55679\text{]}$

Таким образом, один рабочий производит 487.56 единицы продукции за смену.

Шаг 2: Рассчитаем объём продукции для всех рабочих и дней

Теперь умножим полученное значение на количество рабочих (17 человек) и количество рабочих дней (25):

$\text{[}487.56\cdot 17\cdot 25=207519единицпродукции\text{]}$

Ответ:

Объём продукции, произведённый бригадой из 17 человек за 25 рабочих дней, составляет 207519 единиц продукции.