Определить объём тела полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции ограниченной линиями

Определение предмета и раздела

Задание относится к математике, а именно к разделу интегрального исчисления (геометрические приложения – объём тела при вращении кривой или фигуры вокруг оси). Мы будем находить объём тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс.

План решения

Для нахождения объёма тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси \( x \), обычно используется формула:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]

где \( f(x) \) — это функция, описывающая кривую, которая вращается вокруг оси \( x \), и интервал \[ [a, b] \] — границы по оси \( x \).

Шаг 1. Определение функции и границ

Задана функция \( y = x^2 + 3 \), и говорено, что область ограничения по \( x \) — это \( x = 1 \) и \( x = 4 \). Также есть ограничение по оси \( y = 0 \), что означает, что часть фигуры вращается вокруг оси абсцисс.

Шаг 2. Применим формулу для объёма

Тело при вращении будет цилиндрическим, и объём можно посчитать по формуле:

\[ V = \pi \int_{1}^{4} \left( x^2 + 3 \right)^2 \, dx \]

Теперь мы раскроем скобку \( \left( x^2 + 3 \right)^2 \):

\[ \left( x^2 + 3 \right)^2 = x^4 + 6x^2 + 9 \]

Получаем:

\[ V = \pi \int_{1}^{4} \left( x^4 + 6x^2 + 9 \right) \, dx \]

Шаг 3. Вычислим интегралы

Теперь находим интегралы для каждого члена по отдельности:

1. Интеграл от \( x^4 \):

\[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \]

2. Интеграл от \( 6x^2 \):

\[ \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \]

3. Интеграл от \( 9 \):

\[ \int 9 \, dx = 9x \]

Подставляем всё это в основное выражение:

\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + 2x^3 + 9x \right]_{1}^{4} \]

Шаг 4. Подставляем пределы интегрирования

Теперь подставим \( x = 4 \) и \( x = 1 \) в выражение:

1. Для \( x = 4 \):

\[ \frac{4^5}{5} + 2 \cdot 4^3 + 9 \cdot 4 = \frac{1024}{5} + 2 \cdot 64 + 36 = \frac{1024}{5} + 128 + 36 = \frac{1024}{5} + 164 = \frac{1844}{5} \]

2. Для \( x = 1 \):

\[ \frac{1^5}{5} + 2 \cdot 1^3 + 9 \cdot 1 = \frac{1}{5} + 2 + 9 = \frac{1}{5} + 11 = \frac{56}{5} \]

Теперь находим разность между значениями при \( x = 4 \) и \( x = 1 \):

\[ \frac{1844}{5} - \frac{56}{5} = \frac{1844 - 56}{5} = \frac{1788}{5} \]

Шаг 5. Находим объём

Прибавляем \( \pi \):

\[ V = \pi \cdot \frac{1788}{5} = \frac{1788\pi}{5} \]

Ответ

Объём тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен:

\( V = \frac{1788\pi}{5} \)