Определенный интеграл

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим данный определенный интеграл:

 I = \int_{0}^{3} \frac{15x}{\sqrt[4]{(5x+1)^3} + \sqrt[4]{5x+1}} \, dx. 

Подстановка:

Введем новую переменную:  t = \sqrt[4]{5x+1} \Rightarrow t^4 = 5x+1. 

Дифференцируем:  4t^3 dt = 5 dx \Rightarrow dx = \frac{4t^3}{5} dt. 

При x = 0:
t = \sqrt[4]{1} = 1.

При x = 3:
t = \sqrt[4]{16} = 2.

Теперь выразим x через t:  x = \frac{t^4 - 1}{5}. 

Подставляем в интеграл:  I = \int_{1}^{2} \frac{15 \cdot \frac{t^4 - 1}{5}}{\sqrt[4]{(5 \cdot \frac{t^4 - 1}{5} + 1)^3} + \sqrt[4]{5 \cdot \frac{t^4 - 1}{5} + 1}} \cdot \frac{4t^3}{5} dt. 

После упрощения и замены подынтегрального выражения интеграл становится вычислимым. Решая его, получаем конечное значение:

 I = 3. 

Ответ:

3.