Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Тема: Интегралы)
Что такое неопределённый интеграл?
Неопределённый интеграл — это операция, обратная дифференцированию. Когда мы вычисляем производную функции, мы теряем информацию — константу. Неопределённый интеграл помогает нам восстановить исходную функцию, однако, так как мы теряем константу при вычислении производной, неопределённый интеграл записывается с учётом произвольной константы интегрирования. Запись неопределённого интеграла выглядит так: \[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \] где:
- \( f(x) \) — подынтегральная функция (функция, которую мы интегрируем),
- \( F(x) \) — первообразная функции \( f(x) \), т.е. такая функция, производная которой равна \( f(x) \),
- \( C \) — произвольная константа интегрирования (так как при дифференцировании мы "теряем" информацию о конкретной величине константы).
Основные свойства неопределённого интеграла:
- Линейность интеграла: Если у вас есть две функции \( f(x) \) и \( g(x) \), то: \[ \int (a f(x) + b g(x))\, dx = a \int f(x)\, dx + b \int g(x)\, dx, \] где \( a \) и \( b \) — любые константы. Это значит, что мы можем интегрировать каждую функцию по отдельности и умножать на константы, как при дифференциации.
- Интеграл от суммы (или разности) функций: \[ \int (f(x) + g(x))\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx. \] То есть интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов.
- Формула интеграла от степенной функции: Если \( n \neq -1 \), то: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. \] Это основной результат для интегрирования степенных функций. Если \( n = -1 \), то: \[ \int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C. \]
Пример решения
Найдём неопределённый интеграл следующей функции: \[ \int (3x^2 - 5x + 2)\, dx \] Используем основное свойство линейности и применим правила интегрирования для каждого слагаемого отдельно.
- Интегрируем \( 3x^2 \): По формуле: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \] для \( x^2 \), \( n = 2 \): \[ \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3. \]
- Интегрируем \( -5x \): Для \( x^1 \), \( n = 1 \): \[ \int -5x dx = -5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -5 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{5x^2}{2}. \]
- Интегрируем константу \( 2 \): Интеграл от константы: \[ \int 2 dx = 2x. \]
Теперь, сложив все результаты, получаем: \[ \int (3x^2 - 5x + 2)\, dx = x^3 - \frac{5x^2}{2} + 2x + C. \]
Ответ:
\[ x^3 - \frac{5x^2}{2} + 2x + C. \]
Будут ли у тебя ещё вопросы или задания на эту тему?