Нужно вычислить определённый интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно вычислить определённый интеграл:

\int\limits_0^1 x^2 e^{3x} dx.

Решение:

Для вычисления данного интеграла применим метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям:

\int u \, dv = uv - \int v \, du,

где u и dv выбираются из подынтегрального выражения.

Шаг 1: Выбор u и dv

Пусть:

• u = x^2, тогда du = 2x \, dx;
• dv = e^{3x} dx, тогда v = \frac{1}{3} e^{3x} (взятие первообразной).

Шаг 2: Подстановка в формулу

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

\int x^2 e^{3x} dx = u v - \int v \, du.

Подставляем u, v, du:

\int x^2 e^{3x} dx = x^2 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2x \, dx.

Упростим:

\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \int x e^{3x} dx.

Шаг 3: Интегрируем \int x e^{3x} dx

Для интеграла \int x e^{3x} dx снова применим метод интегрирования по частям. Пусть:

• u = x, тогда du = dx;
• dv = e^{3x} dx, тогда v = \frac{1}{3} e^{3x}.

Подставляем в формулу:

\int x e^{3x} dx = u v - \int v \, du = x \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} dx.

Упростим:

\int x e^{3x} dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x}.

Шаг 4: Подставляем результат

Теперь вернёмся к исходному интегралу:

\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \right).

Раскроем скобки:

\int x^2 e^{3x} dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{9} x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x}.

Шаг 5: Вычисление определённого интеграла

Теперь вычислим определённый интеграл на промежутке [0, 1]:

\int\limits_0^1 x^2 e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3} x^2 e^{3x} - \frac{2}{9} x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} \right]_0^1.

Подставим верхний предел x = 1:

\frac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot e^{3 \cdot 1} - \frac{2}{9} \cdot 1 \cdot e^{3 \cdot 1} + \frac{2}{27} \cdot e^{3 \cdot 1} = \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{9} + \frac{2}{27} \right) e^3.

Приведём к общему знаменателю (знаменатель 27):

\frac{1}{3} = \frac{9}{27}, \quad \frac{2}{9} = \frac{6}{27}, \quad \frac{2}{27} = \frac{2}{27}.

Складываем:

\frac{9}{27} - \frac{6}{27} + \frac{2}{27} = \frac{5}{27}.

Итак, при x = 1 значение равно:

\frac{5}{27} e^3.

Подставим нижний предел x = 0. Все члены, содержащие x, обнуляются, а e^{3 \cdot 0} = 1. Таким образом, значение при x = 0 равно:

\frac{1}{3} \cdot 0^2 \cdot 1 - \frac{2}{9} \cdot 0 \cdot 1 + \frac{2}{27} \cdot 1 = \frac{2}{27}.

Шаг 6: Вычисление разности

Теперь вычислим разность значений:

\frac{5}{27} e^3 - \frac{2}{27} = \frac{5}{27} e^3 - \frac{2}{27}.

Ответ:

\int\limits_0^1 x^2 e^{3x} dx = \frac{5}{27} e^3 - \frac{2}{27}.