Нужно вычислить интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно вычислить интеграл:

\int \frac{x}{1+x^2} \, dx

Решение:

1. Заметим, что производная знаменателя равна числителю:

   Производная от 1 + x^2 равна 2x. Это подсказывает, что можно использовать метод подстановки.

2. Выполним замену:

   Пусть u = 1 + x^2. Тогда du = 2x \, dx, или \frac{1}{2} du = x \, dx.

3. Подставим в интеграл:

    \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du 

4. Вычислим интеграл:

    \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C , где C — произвольная константа интегрирования.

5. Вернемся к переменной x:

   Подставляем u = 1 + x^2:

    \frac{1}{2} \ln|1 + x^2| + C 

Ответ:

 \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln|1 + x^2| + C