Неопределенный интеграл, метод разложения на простейшие дроби

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (Неопределенный интеграл, метод разложения на простейшие дроби)

Рассмотрим данный интеграл:

$I=\int \frac{2x+7}{x^2+x-2}dx$

Шаг 1: Разложение знаменателя на множители

Разложим знаменатель на множители:

$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

Шаг 2: Представление дроби в виде суммы простейших дробей

Представим дробь в виде суммы:

$\frac{2x+7}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$

Домножим обе части на знаменатель $(x+2)(x-1)$:

$2x+7=A(x-1)+B(x+2)$

Шаг 3: Найдем коэффициенты A и B

Раскроем скобки:

$2x+7=Ax-A+Bx+2B$

Сгруппируем члены:

$2x+7=(A+B)x+(-A+2B)$

Приравняем коэффициенты:

1. Для $x$: $A+B=2$
2. Для свободного члена: $-A+2B=7$

Решим систему:

1. $A+B=2$
2. $-A+2B=7$

Сложим уравнения:

$(A+B)+(-A+2B)=2+7$

$B+2B=9$

$3B=9\Rightarrow B=3$

Подставим $B=3$ в первое уравнение:

$A+3=2$

$A=-1$

Шаг 4: Интегрирование

Теперь интеграл принимает вид:

$I=\int (\frac{-1}{x+2}+\frac{3}{x-1})dx$

Распишем интегралы:

$I=-\int \frac{dx}{x+2}+3\int \frac{dx}{x-1}$

Вычислим:

$I=-\ln |x+2|+3\ln |x-1|+C$

Ответ:

$I=3\ln |x-1|-\ln |x+2|+C$