Неопределенный интеграл, метод разложения на простейшие дроби

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы (Неопределенный интеграл, метод разложения на простейшие дроби)

Рассмотрим данный интеграл:

 I = \int \frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} \,dx 

Шаг 1: Разложение знаменателя на множители

Разложим знаменатель на множители:

 x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) 

Шаг 2: Представление дроби в виде суммы простейших дробей

Представим дробь в виде суммы:

 \frac{2x + 7}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1} 

Домножим обе части на знаменатель (x + 2)(x - 1):

 2x + 7 = A(x - 1) + B(x + 2) 

Шаг 3: Найдем коэффициенты A и B

Раскроем скобки:

 2x + 7 = A x - A + B x + 2B 

Сгруппируем члены:

 2x + 7 = (A + B)x + (-A + 2B) 

Приравняем коэффициенты:

1. Для x: A + B = 2
2. Для свободного члена: -A + 2B = 7

Решим систему:

1. A + B = 2
2. -A + 2B = 7

Сложим уравнения:

(A + B) + (-A + 2B) = 2 + 7

B + 2B = 9

3B = 9 \Rightarrow B = 3

Подставим B = 3 в первое уравнение:

A + 3 = 2

A = -1

Шаг 4: Интегрирование

Теперь интеграл принимает вид:

 I = \int \left( \frac{-1}{x + 2} + \frac{3}{x - 1} \right) dx 

Распишем интегралы:

 I = -\int \frac{dx}{x + 2} + 3\int \frac{dx}{x - 1} 

Вычислим:

 I = -\ln |x + 2| + 3\ln |x - 1| + C 

Ответ:

 I = 3\ln |x - 1| - \ln |x + 2| + C