Неопределенные интегралы

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы (Неопределенные интегралы)

Дан интеграл:  I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} 

Шаг 1: Заведение полного квадрата

Выражение под корнем можно представить в виде полного квадрата:  x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 

Тогда интеграл принимает вид:  I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 4}} 

Шаг 2: Замена переменной

Пусть:  x + 1 = 2 \tan{\theta} 

Тогда:  dx = 2 \sec^2{\theta} d\theta 

Подставляем в интеграл:  I = \int \frac{2 \sec^2{\theta} d\theta}{\sqrt{4 \tan^2{\theta} + 4}} 

Так как \sqrt{4 (\tan^2{\theta} + 1)} = \sqrt{4 \sec^2{\theta}} = 2 \sec{\theta}, получаем:  I = \int \frac{2 \sec^2{\theta} d\theta}{2 \sec{\theta}} 

Сокращаем:  I = \int \sec{\theta} d\theta 

Шаг 3: Вычисление интеграла

Известно, что:  \int \sec{\theta} d\theta = \ln |\sec{\theta} + \tan{\theta}| 

Подставляем обратно \theta:  \sec{\theta} = \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}{2}, \quad \tan{\theta} = \frac{x+1}{2} 

Тогда:  I = \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}{2} + \frac{x+1}{2} \right| + C 

Упрощаем:  I = \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 5} + (x+1)}{2} \right| + C 

Ответ:

 I = \ln \left| \sqrt{x^2 + 2x + 5} + x + 1 \right| + C