Необходимо вычислить двойной интеграл

Это задание по математике, а именно по разделу интегрального исчисления, в частности, двойные интегралы.

Условие задачи состоит в следующем: Необходимо вычислить двойной интеграл \( \iint_D (y + x) \, dx \, dy \), где область интегрирования \( D \) задана как: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( y = 0 \), \( 2y + x = 6 \). Теперь решим задачу шаг за шагом.

1. Определим границы интегрирования: Область \( D \) ограничена прямыми:
   • \( x = 0 \) (левая граница по \( x \))
   • \( x = 2 \) (правая граница по \( x \))
   • \( y = 0 \) (нижняя граница по \( y \))
   • \( 2y + x = 6 \) (верхняя граница по \( y \))
   Преобразуем уравнение \( 2y + x = 6 \) для \( y \): \[ y = \frac{6 - x}{2} \]
2. Построим порядок интегрирования: Интегрируем сначала по \( y \) от \( y = 0 \) до \( y = \frac{6 - x}{2} \), затем по \( x \) от \( x = 0 \) до \( x = 2 \). Запишем двойной интеграл в зависимости от этих границ: \[ \iint_D (y + x) \, dx \, dy = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{6 - x}{2}} (y + x) \, dy \, dx \]
3. Вычисление внутреннего интеграла \(\int (y + x) \, dy \): \[ \int_{0}^{\frac{6 - x}{2}} (y + x) \, dy = \int_{0}^{\frac{6 - x}{2}} y \, dy + \int_{0}^{\frac{6 - x}{2}} x \, dy \] Вычислим каждый интеграл:
   • \(\int_{0}^{\frac{6 - x}{2}} y \, dy \): \[ \left. \frac{y^2}{2} \right|_{0}^{\frac{6 - x}{2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{6 - x}{2} \right)^2 = \frac{1/2} \cdot \frac{(6 - x)^2}{4} = \frac{(6 - x)^2}{8} \]
   • \(\int_{0}^{\frac{6 - x}{2}} x \, dy \): \[ x \int_{0}^{\frac{6 - x}{2}} dy = x \left. y \right|_{0}^{\frac{6 - x}{2}} = x \cdot \frac{6 - x}{2} \]
   Общий результат внутреннего интеграла: \[ \frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{x(6 - x)}{2} = \frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{6x - x^2}{2} \]
4. Вычислим внешний интеграл \(\int_{0}^{2} \left( \frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{6x - x^2}{2} \right) dx \): Упрощение интегрируемого выражения: \[ \frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{6x - x^2}{2} = \frac{(36 - 12x + x^2)}{8} + \frac{6x - x^2}{2} = \frac{36 - 12x + x^2}{8} + \frac{24x - 4x^2}{8} \] \[ = \frac{36 - 12x + x^2 + 24x - 4x^2}{8} = \frac{36 + 12x - 3x^2}{8} = \frac{36}{8} + \frac{12x}{8} - \frac{3x^2}{8} \] \[ = \frac{9}{2} + \frac{3x}{2} - \frac{3x^2}{8} \] Теперь вычислим интеграл: \[ \int_{0}^{2} \left( \frac{9}{2} + \frac{3x}{2} - \frac{3x^2}{8} \right) dx = \frac{9}{2} \int_{0}^{2} 1 \, dx + \frac{3/2} \int_{0}^{2} x \, dx - \frac{3/8} \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] Вычислим каждый интеграл:
   • \(\frac{9}{2} \int_{0}^{2} 1 \, dx = \frac{9/2} \left. x \right|_{0}^{2} = \frac{9/2} \cdot 2 = 9\)
   • \(\frac{3}{2} \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{3/2} \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{2} = \frac{3/2} \cdot \frac{4/2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\)
   • \(-\frac{3/8} \int_{0}^{2} x^2 \, dx = -\frac{3/8} \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = -\frac{3/8} \cdot \frac{8/3} = -1\)
   Сложим результаты: \[ 9 + 3 - 1 = 11 \] Таким образом, значение двойного интеграла \( \iint_D (y + x) \, dx \, dy \) равно \( 11 \).