Найти значение производной функции

Определение предмета и раздела:

Данное задание касается предмета математики, раздела дифференциальное исчисление (в частности, нахождение производной функции и её значение в заданной точке).

Задано:

$\text{(}y=x^2\cdot \ln x\text{)}$

Нужно найти значение производной функции $\text{(}\frac{dy}{dx}\text{)}$ (или $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$) в точке $\text{(}x=1.5\text{)}$.

1. Определение функции и её производной:

Функция имеет вид $\text{(}y=x^2\ln x\text{)}$, которая представляет собой произведение двух функций: $\text{(}{x}^2\text{)}$ и $\text{(}\ln x\text{)}$. Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования произведения:

$\text{[}(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }\text{]}$

где $\text{(}u=x^2\text{)}$ и $\text{(}v=\ln x\text{)}$. Теперь найдем производные каждой составляющей:

1. $\text{(}u=x^2\text{)}$ → $\text{(}{u}^{\prime }=2x\text{)}$ (это стандартная производная от степенной функции).
2. $\text{(}v=\ln x\text{)}$ → $\text{(}{v}^{\prime }=\frac{1}{x}\text{)}$ (это известная производная от натурального логарифма).

2. Применение правила производной произведения:

Теперь подставим эти производные в формулу:

$\text{[}{y}^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\cdot \ln x+x^2\cdot (\ln x{)}^{\prime }\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }=2x\cdot \ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }=2x\cdot \ln x+x\text{]}$

3. Нахождение значения производной в точке $\text{(}x=1.5\text{)}$:

Подставим $\text{(}x=1.5\text{)}$ в полученное выражение для производной:

$\text{[}{y}^{\prime }=2\cdot 1.5\cdot \ln 1.5+1.5\text{]}$

Используя таблицу логарифмов или калькулятор, найдём значение $\text{(}\ln 1.5\text{)}$:

$\text{[}\ln 1.5\approx 0.4055\text{]}$

Теперь подставим это значение:

$\text{[}{y}^{\prime }\approx 2\cdot 1.5\cdot 0.4055+1.5\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }\approx 3\cdot 0.4055+1.5\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }\approx 1.2165+1.5\text{]}$

$\text{[}{y}^{\prime }\approx 2.7165\text{]}$

Ответ:

Производная функции $\text{(}y=x^2\cdot \ln x\text{)}$ в точке $\text{(}x=1.5\text{)}$ равна приблизительно 2.7165.