Найти значение производной функции

Определение предмета и раздела:

Данное задание касается предмета математики, раздела дифференциальное исчисление (в частности, нахождение производной функции и её значение в заданной точке).

Задано:

\( y = x^2 \cdot \ln{x} \)

Нужно найти значение производной функции \( \frac{dy}{dx} \) (или \( y' \)) в точке \( x = 1.5 \).

1. Определение функции и её производной:

Функция имеет вид \( y = x^2 \ln{x} \), которая представляет собой произведение двух функций: \( x^2 \) и \( \ln{x} \). Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования произведения:

\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

где \( u = x^2 \) и \( v = \ln{x} \). Теперь найдем производные каждой составляющей:

1. \( u = x^2 \) → \( u' = 2x \) (это стандартная производная от степенной функции).
2. \( v = \ln{x} \) → \( v' = \frac{1}{x} \) (это известная производная от натурального логарифма).

2. Применение правила производной произведения:

Теперь подставим эти производные в формулу:

\[ y' = (x^2)' \cdot \ln{x} + x^2 \cdot (\ln{x})' \]

\[ y' = 2x \cdot \ln{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x} \]

\[ y' = 2x \cdot \ln{x} + x \]

3. Нахождение значения производной в точке \( x = 1.5 \):

Подставим \( x = 1.5 \) в полученное выражение для производной:

\[ y' = 2 \cdot 1.5 \cdot \ln{1.5} + 1.5 \]

Используя таблицу логарифмов или калькулятор, найдём значение \( \ln{1.5} \):

\[ \ln{1.5} \approx 0.4055 \]

Теперь подставим это значение:

\[ y' \approx 2 \cdot 1.5 \cdot 0.4055 + 1.5 \]

\[ y' \approx 3 \cdot 0.4055 + 1.5 \]

\[ y' \approx 1.2165 + 1.5 \]

\[ y' \approx 2.7165 \]

Ответ:

Производная функции \( y = x^2 \cdot \ln{x} \) в точке \( x = 1.5 \) равна приблизительно 2.7165.