Найти значение определённого интеграла с использованием метода интегрирования по частям

Определение предмета

Это задание относится к высшей математике, разделу математического анализа, а именно к теме интегралов, с акцентом на интегрирование по частям.

Задача

Найти значение определённого интеграла с использованием метода интегрирования по частям:

\[ I = \frac{1}{2} \int_0^2 x e^{\frac{x}{3}} \, dx. \]

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du, \]

где функции \(u\) и \(dv\) выбираются так, чтобы упрощать интеграл.

Решение

Рассмотрим \(\int x e^{\frac{x}{3}} \, dx\). Для интегрирования по частям выберем:

• \(u = x\) \(\Rightarrow\) \(du = dx\),
• \(dv = e^{\frac{x}{3}} dx\) \(\Rightarrow\) \(v = \int e^{\frac{x}{3}} dx\).

Теперь найдём \(v\):

\[ v = \int e^{\frac{x}{3}} dx = 3 e^{\frac{x}{3}}, \]

так как интеграл от экспоненты \(e^{kx}\) равен \(\frac{1}{k} e^{kx}\).

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

\[ \int x e^{\frac{x}{3}} dx = u v - \int v \, du = x \cdot 3 e^{\frac{x}{3}} - \int 3 e^{\frac{x}{3}} dx. \]

Второй интеграл:

\[ \int 3 e^{\frac{x}{3}} dx = 3 \cdot 3 e^{\frac{x}{3}} = 9 e^{\frac{x}{3}}. \]

Подставляем:

\[ \int x e^{\frac{x}{3}} dx = 3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}}. \]

Теперь вычисляем определённый интеграл от \(0\) до \(2\):

\[ I = \frac{1}{2} \int_0^2 x e^{\frac{x}{3}} dx = \frac{1}{2} \left[ 3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}} \right]_0^2. \]

Считаем значение на верхнем пределе \(x = 2\):

\[ 3 \cdot 2 \cdot e^{\frac{2}{3}} - 9 \cdot e^{\frac{2}{3}} = 6 e^{\frac{2}{3}} - 9 e^{\frac{2}{3}} = -3 e^{\frac{2}{3}}. \]

Считаем значение на нижнем пределе \(x = 0\):

\[ 3 \cdot 0 \cdot e^{\frac{0}{3}} - 9 \cdot e^{\frac{0}{3}} = -9 \cdot e^{0} = -9. \]

Разность верхнего и нижнего предела:

\[ \left(-3 e^{\frac{2}{3}}\right) - (-9) = -3 e^{\frac{2}{3}} + 9. \]

Теперь умножаем результат на \(\frac{1}{2}\):

\[ I = \frac{1}{2} \left(-3 e^{\frac{2}{3}} + 9\right) = -\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3}} + \frac{9}{2}. \]

Ответ:

\[ I = -\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3}} + \frac{9}{2}. \]