Найти V - объем тела, ограниченного поверхностями

Предмет: Математика
Раздел: Многомерный интеграл, вычисление объемов

Дано тело, ограниченное поверхностями:

1. Цилиндрическая поверхность: x^2 + y^2 = 4x
2. Плоскость: z = 10 - y^2
3. Плоскость: z = 0

Шаг 1: Преобразование уравнения цилиндра

Перепишем уравнение цилиндра в удобной форме: x^2 - 4x + y^2 = 0
Добавим и вычтем 4 в выражении x^2 - 4x:
(x - 2)^2 - 4 + y^2 = 0
(x - 2)^2 + y^2 = 4

Это уравнение окружности с центром в точке (2,0) и радиусом R = 2.

Шаг 2: Переход в полярные координаты

Параметризуем окружность:
x = 2 + r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
где 0 \leq r \leq 2 и 0 \leq \theta \leq 2\pi.

Шаг 3: Выражение объема через интеграл

Объем тела вычисляется по формуле:
V = \int\int_D \int_0^{10 - y^2} dz \, dS,
где D — проекция тела на плоскость XY.

Вычислим интеграл по z:
\int_0^{10 - y^2} dz = (10 - y^2) - 0 = 10 - y^2.

Подставляя в полярные координаты y = r\sin\theta, получаем:
V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (10 - (r\sin\theta)^2) r \, dr \, d\theta.

Шаг 4: Вычисление интегралов

Рассмотрим внутренний интеграл:
\int_0^2 (10 - r^2 \sin^2\theta) r \, dr.

Разделим его на два интеграла:
\int_0^2 10r \, dr - \sin^2\theta \int_0^2 r^3 \, dr.

Вычисляем первый интеграл:
\int_0^2 10r \, dr = 10 \cdot \frac{r^2}{2} \Big|_0^2 = 10 \cdot \frac{4}{2} = 20.

Вычисляем второй интеграл:
\int_0^2 r^3 \, dr = \frac{r^4}{4} \Big|_0^2 = \frac{16}{4} = 4.

Подставляем:
20 - 4\sin^2\theta.

Теперь вычисляем внешний интеграл:
\int_0^{2\pi} (20 - 4\sin^2\theta) d\theta.

Разделим его на два интеграла:
20 \int_0^{2\pi} d\theta - 4 \int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta.

Первый интеграл:
20 \cdot 2\pi = 40\pi.

Второй интеграл:
\int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta = \pi (по известному результату).

Подставляем:
40\pi - 4\pi = 36\pi.

Ответ:

V = 36\pi.