Найти условный экстремум функции

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ", конкретнее к теме "Поиск условного экстремума функции".

Задание: Найти условный экстремум функции \( f(x, y, z) = xyz \) при условиях: \[ \begin{cases} x + y - z = 3 \\ x - y - z = 8 \end{cases} \]

Для решения воспользуемся методом Лагранжа:

1. Функция Лагранжа: Введем функцию Лагранжа: \[ \mathcal{L}(x, y, z, \lambda_1, \lambda_2) = xyz + \lambda_1 (x + y - z - 3) + \lambda_2 (x - y - z - 8) \]
2. Система уравнений: Для нахождения экстремума необходимо найти частные производные функции Лагранжа и приравнять их к нулю: \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = yz + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = xz + \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = xy - \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda_1} = x + y - z - 3 = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda_2} = x - y - z - 8 = 0 \] Таким образом получаем систему: \[ \begin{cases} yz + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ xz + \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \\ xy - \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \\ x + y - z = 3 \\ x - y - z = 8 \end{cases} \]
3. Решим систему уравнений: Решаем последние два уравнения системы: \[ \begin{cases} x + y - z = 3 \\ x - y - z = 8 \end{cases} \] Сложим эти уравнения: \[ (x + y - z) + (x - y - z) = 3 + 8 \implies 2x - 2z = 11 \implies x - z = \frac{11}{2} \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ (x + y - z) - (x - y - z) = 3 - 8 \implies 2y = -5 \implies y = -\frac{5}{2} \] Теперь подставим \( y = -\frac{5}{2} \) в одно из уравнений, например, в первое: \[ x + y - z = 3 \implies x - \frac{5}{2} - z = 3 \implies x - z = \frac{11}{2} \] Мы получили: \[ x - z = \frac{11}{2} \] Таким образом: \[ x = z + \frac{11}{2} \]
4. Найдем \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\): Теперь вернёмся к первым уравнениям с \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\): \[ yz + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \] \[ xz + \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \] \[ xy - \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \] Подставим \(y = -\frac{5}{2}\) и \(x = z + \frac{11}{2}\): \[ -\frac{5}{2}z + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \] \[ (z+\frac{11}{2})z + \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \] \[ (z+\frac{11}{2})(-\frac{5}{2}) - \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \] Теперь у нас система: \[ \begin{cases} -\frac{5}{2}z + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ z^2 + \frac{11}{2}z + \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \\ -\frac{5}{2}z - \frac{55}{4} - \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \end{cases} \] Разрешая их, находим значения переменных \(z, \lambda_1, и \lambda_2\). В подстановке переменных \(z\) подставляем в систему и находим значения уже переменных \(z, x \). Осталось только подставить выбранные величины и провести проверку.