Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Это задание относится к предмету "Аналитическая геометрия" или "Дифференциальная геометрия" из курса "Высшая математика". Требуется найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности \(2x^2 + 3y^2 - z + 1 = 0\) в точке \(A(1, 2)\).

1. Найдите частные производные функции:

Сначала переписываем уравнение поверхности в виде \(F(x, y, z) = 0\):

\[ F(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 - z + 1 \]

Находим частные производные функции \(F(x, y, z)\) по переменным \(x\), \(y\) и \(z\):

\[ F_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 4x \]

\[ F_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 6y \]

\[ F_z = \frac{\partial F}{\partial z} = -1 \]

2. Определите значения частных производных в точке \(A(1, 2)\):

Вычисляем значения частных производных в точке \(A(1, 2)\):

\[ F_x(1, 2) = 4 \cdot 1 = 4 \]

\[ F_y(1, 2) = 6 \cdot 2 = 12 \]

\[ F_z(1, 2) = -1 \]

Соответственно, нормальный вектор \(\mathbf{n}\) к поверхности в точке \(A(1, 2)\) равен:

\[ \mathbf{n} = (4, 12, -1) \]

3. Уравнение касательной плоскости:

Уравнение касательной плоскости в точке \(A(x_0, y_0, z_0)\) к поверхности \(F(x, y, z) = 0\) задается формулой:

\[ F_x(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + F_y(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) + F_z(x_0, y_0) \cdot (z - z_0) = 0 \]

Подставляем значения частных производных и координаты точки \(A(1, 2)\):

\[ 4(x - 1) + 12(y - 2) -1(z - z_0) = 0 \]

Требуется найти значение \(z_0\), подставив в исходное уравнение x = 1 и y = 2:

\[ 2(1)^2 + 3(2)^2 - z_0 + 1 = 0 \]

\[ 2 + 12 - z_0 + 1 = 0 \]

\[ 15 - z_0 = 0 \]

Следовательно, \(z_0 = 15\). Подставляем известное значение в уравнение касательной плоскости:

\[ 4(x - 1) + 12(y - 2) - (z - 15) = 0 \]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[ 4x - 4 + 12y - 24 -z + 15 = 0 \]

\[ 4x + 12y - z - 13 = 0 \]

Таким образом, уравнение касательной плоскости в точке \(A(1,2)\) к поверхности \(2x^2 + 3y^2 - z + 1 = 0\) имеет вид:

\[ 4x + 12y - z - 13 = 0 \]