Найти циркуляцию вектора a по контуру Γ непосредственно

Это задача из раздела векторного анализа в курсе математического анализа. Для решения задачи найдем циркуляцию векторного поля a по контуру Γ непосредственно. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру определяется с помощью интеграла: \[ \oint_{\Gamma} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} \] где \(\mathbf{a} = 2yz\mathbf{i} + xz\mathbf{j} + y^2\mathbf{k}\) и контур \(\Gamma\) задается уравнениями: \[ x^2 + y^2 = z^2 \quad \text{и} \quad z = 1. \] В первую очередь найдем параметризацию контура \(\Gamma\). Из \(z = 1\) и \(x^2 + y^2 = 1\) следует, что контур \(\Gamma\) представляет собой окружность в плоскости \(z = 1\). Параметризуем окружность в плоскости \(z = 1\) в виде: \[ x = \cos t, \] \[ y = \sin t, \] \[ z = 1, \] где \(t\) изменяется от \(0\) до \(2\pi\). Подставим эти выражения в вектор \(\mathbf{a}\): \[\mathbf{a} = 2yz\mathbf{i} + xz\mathbf{j} + y^2\mathbf{k}.\] При \(z = 1\) это становится: \[\mathbf{a} = 2y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + y^2\mathbf{k}.\] Таким образом, подставив параметризацию, получаем: \[\mathbf{a} = 2\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \sin^2 t \mathbf{k}.\] Найдем дифференциал \(d\mathbf{r}\): \[d\mathbf{r} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} dt = (-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j}) dt. \] Теперь вычислим скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}\): \[\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = (2\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \sin^2 t \mathbf{k}) \cdot (-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j}) dt.\] Игнорируя компоненты \(...