Найти точки пересечения функций, чтобы определить границы интегрирования

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Для нахождения площади между двумя кривыми, заданными функциями f(x) и g(x), необходимо:

1. Найти точки пересечения функций, чтобы определить границы интегрирования.
2. Вычислить интеграл разности функций в этих пределах.

Функции заданы:
f(x) = x + 2
g(x) = -x^2 + 3x + 5

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций.

Для этого приравняем f(x) и g(x):
x + 2 = -x^2 + 3x + 5.

Переносим все в одну сторону:
0 = -x^2 + 3x - x + 5 - 2,
0 = -x^2 + 2x + 3.

Умножим на -1 для удобства:
x^2 - 2x - 3 = 0.

Решим квадратное уравнение:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1, b = -2, c = -3.

Подставляем:
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)},
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2},
x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2},
x = \frac{2 \pm 4}{2}.

Получаем два корня:
x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1,
x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.

Точки пересечения: x = -1 и x = 3.

Шаг 2: Вычислим площадь между кривыми.

Площадь между кривыми вычисляется по формуле:
S = \int_{x_1}^{x_2} \left| g(x) - f(x) \right| dx.

Так как g(x) выше f(x) на промежутке [-1; 3] (это можно проверить, подставляя значения x), знак модуля можно убрать:
S = \int_{-1}^{3} \left( g(x) - f(x) \right) dx.

Подставим выражения для g(x) и f(x):
S = \int_{-1}^{3} \left( (-x^2 + 3x + 5) - (x + 2) \right) dx.

Упростим подынтегральное выражение:
S = \int_{-1}^{3} \left( -x^2 + 3x + 5 - x - 2 \right) dx,
S = \int_{-1}^{3} \left( -x^2 + 2x + 3 \right) dx.

Шаг 3: Вычислим интеграл.

Рассчитаем интеграл по частям:
\int (-x^2 + 2x + 3) dx = \int -x^2 dx + \int 2x dx + \int 3 dx.

1. \int -x^2 dx = -\frac{x^3}{3},
2. \int 2x dx = x^2,
3. \int 3 dx = 3x.

Таким образом:
\int (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x.

Теперь подставим пределы интегрирования [-1; 3]:
S = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}.

Вычислим значения:

1. Для x = 3:
   -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 = -\frac{27}{3} + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9.

2. Для x = -1:
   -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = -\frac{-1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{-5}{3}.

Теперь найдем разность:
S = 9 - \left( \frac{-5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27}{3} + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}.

Ответ:

Площадь между кривыми равна \frac{32}{3}.