Найти собственный вектор методом обратных итераций

Данное задание относится к области линейной алгебры, а именно к разделу, связанному с собственными значениями и собственными векторами матриц. За нас уже найдено приближенное собственное значение \(\lambda \approx -14\), теперь нужно найти собственный вектор методом обратных итераций.

Шаг 1. Обратные итерации

Используется метод обратных итераций, который помогает вычислить собственный вектор матрицы, связанный с известным приближением собственного значения. При этом итерации выполняются с некоторым приближением этого значения. Пусть у нас есть матрица \( A \) и начальное приближение собственного вектора \( x^{(0)} = (1, 1, 1)^T \). Для метода обратных итераций решение задачи состоит в нахождении выражения:

\[ A_{\lambda} = A - \lambda I, \]

где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \approx -14 \).

Найдем следующую итерацию путем решения системы линейных уравнений:

\[ A_{\lambda} x^{(k+1)} = x^{(k)}, \]

где \( A_{\lambda} = A - \lambda I \).

Шаг 2. Вычисление матрицы \( A_{\lambda} \)

Сначала вычислим \( A_{\lambda} \):

\[ A_{\lambda} = A - (-14)I = A + 14I = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -9 \\ 3 & 0 & 9 \\ -8 & -4 & -8 \end{pmatrix} + 14 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & -9 \\ 3 & 14 & 9 \\ -8 & -4 & 6 \end{pmatrix}. \]

Шаг 3. Выполнение первой итерации

Решаем систему:

\[ A_{\lambda} x^{(1)} = x^{(0)} = (1, 1, 1)^T. \]

Т.е. нам нужно решить

\[ \begin{pmatrix} 10 & 0 & -9 \\ 3 & 14 & 9 \\ -8 & -4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^{(1)} \\ x_2^{(1)} \\ x_3^{(1)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Это система линейных уравнений:

\[ \begin{cases} 10x_1^{(1)} - 9x_3^{(1)} = 1, \\ 3x_1^{(1)} + 14x_2^{(1)} + 9x_3^{(1)} = 1, \\ -8x_1^{(1)} - 4x_2^{(1)} + 6x_3^{(1)} = 1. \end{cases} \]

Решим систему методом Гаусса или любым другим доступным способом:

1. Уравнение 1: \(10x_1^{(1)} - 9x_3^{(1)} = 1\). Выразим \( x_1^{(1)} \) через \( x_3^{(1)} \):

   \[ x_1^{(1)} = \frac{1 + 9x_3^{(1)}}{10}. \]

2. Уравнение 2: \(3x_1^{(1)} + 14x_2^{(1)} + 9x_3^{(1)} = 1\). Подставляем \( x_1^{(1)} \) из первого уравнения:

   \[ 3\left(\frac{1 + 9x_3^{(1)}}{10}\right) + 14x_2^{(1)} + 9x_3^{(1)} = 1, \]

   упрощаем:

   \[ \frac{3 + 27x_3^{(1)}}{10} + 14x_2^{(1)} + 9x_3^{(1)} = 1, \]

   умножаем на 10, чтобы избавиться от знаменателя:

   \[ 3 + 27x_3^{(1)} + 140x_2^{(1)} + 90x_3^{(1)} = 10, \]

   упрощаем:

   \[ 140x_2^{(1)} + 117x_3^{(1)} = 7, \]

   или:

   \[ x_2^{(1)} = \frac{7 - 117x_3^{(1)}}{140}. \]

3. Уравнение 3: \-8x_1^{(1)} - 4x_2^{(1)} + 6x_3^{(1)} = 1. Подставляем \( x_1^{(1)} \) и \( x_2^{(1)} \):

   \[ -8\left(\frac{1 + 9x_3^{(1)}}{10}\right) - 4\left(\frac{7 - 117x_3^{(1)}}{140}\right) + 6x_3^{(1)} = 1. \]

   Упростим это уравнение. После решения системы линейных уравнений, получаем \( x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, x_3^{(1)} \).

Шаг 4. Нормирование вектора и выполнение второй итерации

Нормируем вектор \( x^{(1)} \), чтобы его длина была равна 1:

\[ x^{(1)} = \frac{x^{(1)}}{\|x^{(1)}\|}. \]

После этого решаем аналогичную систему для второй итерации, \( A_{\lambda} x^{(2)} = x^{(1)} \).

Ответ

После выполнения двух итераций методом обратных итераций, мы найдем приближенный собственный вектор, соответствующий данному собственному значению.