Найти собственный вектор матрицы A методом обратных итераций, назначив собственное значение

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Собственные значения и собственные векторы матриц

Задача стоит в том, чтобы найти собственный вектор матрицы \( A \) методом обратных итераций, назначив собственное значение \( \lambda \approx 6.8 \).

Матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & -4 & -1 \\ -1 & 6 & 6 \\ -2 & 6 & 1 \end{pmatrix} \]

Задано начальное приближение собственного вектора \( x^{(0)} = (1, 1, 1)^T \). Нужно выполнить две итерации и записать ответ с точностью до двух знаков после запятой.

Шаг 1: Подготовка к итерациям

Метод обратных итераций использует матрицу \( (A - \lambda I)^{-1} \), где \( I \) — единичная матрица тех же размеров, что и \( A \), и \( \lambda \approx 6.8 \). Матрица \( \lambda I \):

\[ \lambda I \approx 6.8 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6.8 & 0 & 0 \\ 0 & 6.8 & 0 \\ 0 & 0 & 6.8 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим матрицу \( A - \lambda I \):

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & -4 & -1 \\ -1 & 6 & 6 \\ -2 & 6 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6.8 & 0 & 0 \\ 0 & 6.8 & 0 \\ 0 & 0 & 6.8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6.8 & -4 & -1 \\ -1 & -0.8 & 6 \\ -2 & 6 & -5.8 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Обратная матрица \( (A - \lambda I)^{-1} \)

Теперь вычислим обратную матрицу к \( A - \lambda I \). Для этого воспользуемся методом Гаусса или другим доступным методом нахождения обратной матрицы. Результат после вычисления:

\[ (A - \lambda I)^{-1} \approx \begin{pmatrix} -0.159 & -0.179 & -0.084 \\ 0.201 & 0.056 & -0.246 \\ 0.089 & -0.219 & -0.105 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Выполнение итераций

Начальное приближение \( x^{(0)} = (1, 1, 1)^T \). Первая итерация: Вычисляем \( x^{(1)} = (A - \lambda I)^{-1} x^{(0)} \):

\[ x^{(1)} \approx \begin{pmatrix} -0.159 & -0.179 & -0.084 \\ 0.201 & 0.056 & -0.246 \\ 0.089 & -0.219 & -0.105 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.159 - 0.179 - 0.084 \\ 0.201 + 0.056 - 0.246 \\ 0.089 - 0.219 - 0.105 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.422 \\ 0.011 \\ -0.235 \end{pmatrix} \]

Теперь нормализуем вектор \( x^{(1)} \):

\[ \|x^{(1)}\| = \sqrt{(-0.422)^2 + (0.011)^2 + (-0.235)^2} \approx 0.484 \]

Нормализуем:

\[ x^{(1)}_{\text{норм}} = \frac{1}{0.484} \begin{pmatrix} -0.422 \\ 0.011 \\ -0.235 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.872 \\ 0.023 \\ -0.485 \end{pmatrix} \]

Вторая итерация: Теперь вычислим \( x^{(2)} = (A - \lambda I)^{-1} x^{(1)}_{\text{норм}} \):

\[ x^{(2)} \approx \begin{pmatrix} -0.159 & -0.179 & -0.084 \\ 0.201 & 0.056 & -0.246 \\ 0.089 & -0.219 & -0.105 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -0.872 \\ 0.023 \\ -0.485 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.137 \\ -0.019 \\ 0.096 \end{pmatrix} \]

Теперь нормализуем вектор \( x^{(2)} \):

\[ \|x^{(2)}\| = \sqrt{(0.137)^2 + (-0.019)^2 + (0.096)^2} \approx 0.167 \]

Нормализуем:

\[ x^{(2)}_{\text{норм}} = \frac{1}{0.167} \begin{pmatrix} 0.137 \\ -0.019 \\ 0.096 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.820 \\ -0.115 \\ 0.575 \end{pmatrix} \]

Ответ:

После двух итераций нормализованный собственный вектор \( x \approx (0.82, -0.12, 0.58)^T \).