Найти решение задачи Коши

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Уравнения с постоянными коэффициентами. Задачи Коши

Мы имеем задачу Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Уравнение выглядит следующим образом:

\[ y'' - y = (14 - 16x)e^{-x}, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = -1. \]

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, с правой частью в форме произведения функции и экспоненты.

Мы решим эту задачу в три этапа:

1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[ y'' - y = 0. \]
2. Найдем частное решение уравнения с правой частью (используя метод неопределенных коэффициентов): \[ y'' - y = (14 - 16x)e^{-x}. \]
3. Подставим начальные условия для окончательного решения.

Этап 1: Решение однородного уравнения

Однородное уравнение:

\[ y'' - y = 0. \]

Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

\[ r^2 - 1 = 0. \]

Решим это уравнение:

\[ r^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad r_1 = 1, \quad r_2 = -1. \]

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

\[ y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}, \] где \(C_1\) и \(C_2\) — это произвольные постоянные.

Этап 2: Найдем частное решение

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения:

\[ y'' - y = (14 - 16x)e^{-x}. \]

Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Правая часть уравнения представлена в виде произведения многочлена и экспоненты, так что мы будем искать частное решение в форме:

\[ y_p(x) = (Ax + B) e^{-x}, \] где \(A\) и \(B\) — это неизвестные коэффициенты, которые нужно определить.

Найдем первую и вторую производные \(y_p(x)\):

\[ y'_p(x) = A e^{-x} - (Ax + B) e^{-x} = (-Ax + (A - B))e^{-x}, \]

\[ y''_p(x) = (-A)e^{-x} - \left((-Ax + (A - B))\right)e^{-x} = (Ax - 2A + B)e^{-x}. \]

Теперь подставим \(y_p(x)\), \(y'_p(x)\) и \(y''_p(x)\) в уравнение \(y'' - y = (14 - 16x)e^{-x}\):

\[ (Ax - 2A + B)e^{-x} - (Ax + B)e^{-x} = (14 - 16x)e^{-x}. \]

Упростим выражение:

\[ (Ax - 2A + B - Ax - B) e^{-x} = (14 - 16x)e^{-x}, \]

\[ (-2A) e^{-x} = (14 - 16x)e^{-x}. \]

1. При \(x\): \(-A = -16 \quad \Rightarrow \quad A = 16.\)
2. Постоянный член: \(-2A = 14 \quad \Rightarrow \quad -32 = 14,\) Ошибка состоя...

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\), получаем: