Найти решение задачи Коши

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Уравнения с постоянными коэффициентами. Задачи Коши

Мы имеем задачу Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Уравнение выглядит следующим образом:

$\text{[}{y}^{″}-y=(14-16x)e^{-x},y(0)=0,y^{\prime }(0)=-1.\text{]}$

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, с правой частью в форме произведения функции и экспоненты.

Мы решим эту задачу в три этапа:

1. Найдем общее решение однородного уравнения: $\text{[}{y}^{″}-y=0.\text{]}$
2. Найдем частное решение уравнения с правой частью (используя метод неопределенных коэффициентов): $\text{[}{y}^{″}-y=(14-16x)e^{-x}.\text{]}$
3. Подставим начальные условия для окончательного решения.

Этап 1: Решение однородного уравнения

Однородное уравнение:

$\text{[}{y}^{″}-y=0.\text{]}$

Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

$\text{[}{r}^2-1=0.\text{]}$

Решим это уравнение:

$\text{[}{r}^2=1⟹r_1=1,r_2=-1.\text{]}$

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

$\text{[}{y}_h(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x},\text{]}$ где $\text{(}{C}_1\text{)}$ и $\text{(}{C}_2\text{)}$ — это произвольные постоянные.

Этап 2: Найдем частное решение

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения:

$\text{[}{y}^{″}-y=(14-16x)e^{-x}.\text{]}$

Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Правая часть уравнения представлена в виде произведения многочлена и экспоненты, так что мы будем искать частное решение в форме:

$\text{[}{y}_p(x)=(Ax+B)e^{-x},\text{]}$ где $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}B\text{)}$ — это неизвестные коэффициенты, которые нужно определить.

Найдем первую и вторую производные $\text{(}{y}_p(x)\text{)}$:

$\text{[}{y}_p^{\prime }(x)=A{e}^{-x}-(Ax+B)e^{-x}=(-Ax+(A-B))e^{-x},\text{]}$

$\text{[}{y}_p^{″}(x)=(-A)e^{-x}-((-Ax+(A-B)))e^{-x}=(Ax-2A+B)e^{-x}.\text{]}$

Теперь подставим $\text{(}{y}_p(x)\text{)}$, $\text{(}{y}_p^{\prime }(x)\text{)}$ и $\text{(}{y}_p^{″}(x)\text{)}$ в уравнение $\text{(}{y}^{″}-y=(14-16x)e^{-x}\text{)}:$

$\text{[}(Ax-2A+B)e^{-x}-(Ax+B)e^{-x}=(14-16x)e^{-x}.\text{]}$

Упростим выражение:

$\text{[}(Ax-2A+B-Ax-B)e^{-x}=(14-16x)e^{-x},\text{]}$

$\text{[}(-2A)e^{-x}=(14-16x)e^{-x}.\text{]}$

1. При $\text{(}x\text{)}:\text{(}-A=-16\Rightarrow A=16.\text{)}$
2. Постоянный член: $\text{(}-2A=14\Rightarrow -32=14,\text{)}$ Ошибка состоя...

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\text{(}x\text{)}$, получаем: