Найти решение системы дифференциальных уравнений

Определение предмета:

Предмет: Математика
Раздел предмета: Дифференциальные уравнения

Мы имеем систему дифференциальных уравнений:

\[ x' = y, \]

\[ y' = x. \]

Решение:

1. Возьмём производную от первого уравнения по времени \(t\) (или по переменной, по которой задана производная):

   \[ x'' = \frac{d}{dt}(x') = \frac{d}{dt}(y) = y'. \]

2. Используя второе уравнение (\(y' = x\)), подставляем это во вновь полученное выражение:

   \[ x'' = y' = x. \]

3. Мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

   \[ x'' = x. \]

   Это классическое линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого можно записать в общем виде по шаблону для уравнений вида \(x'' = \lambda x\).

4. Характеристическое уравнение для уравнения \(x'' = x\) имеет вид:

   \[ r^2 - 1 = 0. \]

   Решая характеристическое уравнение, находим его корни:

   \[ r = \pm 1. \]

5. Таким образом, общее решение для функции \(x(t)\) запишем в виде:

   \[ x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t}, \]

   где \(C_1\) и \(C_2\) — произвольные постоянные, которые будут определяться начальными условиями.

6. Теперь найдем решение для \(y(t)\). Для этого используем первое уравнение из системы (\(x' = y\)):

   \[ y(t) = x'(t). \]

   Найдём производную \(x(t)\):

   \[ x'(t) = C_1 e^t - C_2 e^{-t}. \]

   Следовательно,

   \[ y(t) = C_1 e^t - C_2 e^{-t}. \]

Общее решение системы:

Мы получили общее решение системы в виде:

\[ x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t}, \]

\[ y(t) = C_1 e^t - C_2 e^{-t}. \]

Это и есть решение данного задания — система дифференциальных уравнений решена.