Найти решение интеграла

Это задание относится к предмету "Математика", разделом которого является "Интегральное исчисление" или просто "Интегралы".

Дана задача найти неопределенный интеграл: $\text{[}\int \sqrt{{\cos }^3(2x)}\cdot \sin (2x)dx\text{]}$ Рассмотрим его шаг за шагом:

1. Замена переменной: Обозначим $\text{(}u=\cos (2x)\text{)}$. Тогда $\text{(}du=-2\sin (2x)dx\text{)}$ или $\text{(}\sin (2x)dx=-\frac{1}{2}du\text{)}$.
2. Перепишем интеграл в новых переменных: У нас есть $\text{(}\sqrt{{\cos }^3(2x)}\text{)}$. Поскольку $\text{(}u=\cos (2x)\text{)}$, то $\text{[}\sqrt{{\cos }^3(2x)}=\sqrt{u^3}=u^{3/2}.\text{]}$ Вместо $\text{(}\sin (2x)dx\text{)}$ подставляем $\text{(}-\frac{1}{2}du\text{)}$, получаем: $\text{[}\int \sqrt{{\cos }^3(2x)}\cdot \sin (2x)dx=\int u^{3/2}\cdot (-\frac{1}{2}du)=-\frac{1}{2}\int u^{3/2}du.\text{]}$
3. Вычислим интеграл: Интеграл от $\text{(}{u}^{3/2}\text{)}$ равен: $\text{[}\int u^{3/2}du=\int u^{(3/2)}du=\frac{u^{(3/2)+1}}{(3/2)+1}=\frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}{u}^{5/2}.\text{]}$ Теперь подставим это в наш интеграл: $\text{[}-\frac{1}{2}\int u^{3/2}du=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}{u}^{5/2}=-\frac{1}{5}{u}^{5/2}.\text{]}$
4. Возвращаемся к переменной \(x\): Напомним, что $\text{(}u=\cos (2x)\text{)}$. Тогда $\text{[}-\frac{1}{5}{u}^{5/2}=-\frac{1}{5}(\cos (2x){)}^{5/2}.\text{]}$
5. Добавим константу интегрирования: Не забудем, что результат неопределенного интеграла всегда включает константу интегрирования $\text{(}C\text{)}$: $\text{[}-\frac{1}{5}(\cos (2x){)}^{5/2}+C.\text{]}$

Таким образом, решение нашего интеграла: $\text{[}\int \sqrt{{\cos }^3(2x)}\cdot \sin (2x)dx=-\frac{1}{5}(\cos (2x){)}^{5/2}+C.\text{]}$