Найти решение интеграла

Условие:

Решение:

Это задание относится к предмету "Математика", разделом которого является "Интегральное исчисление" или просто "Интегралы".

Дана задача найти неопределенный интеграл: \[cos3(2x)sin(2x)dx\] Рассмотрим его шаг за шагом:

  1. Замена переменной: Обозначим \(u=cos(2x)\). Тогда \(du=2sin(2x)dx\) или \(sin(2x)dx=12du\).
  2. Перепишем интеграл в новых переменных: У нас есть \(cos3(2x)\). Поскольку \(u=cos(2x)\), то \[cos3(2x)=u3=u3/2.\] Вместо \(sin(2x)dx\) подставляем \(12du\), получаем: \[cos3(2x)sin(2x)dx=u3/2(12du)=12u3/2du.\]
  3. Вычислим интеграл: Интеграл от \(u3/2\) равен: \[u3/2du=u(3/2)du=u(3/2)+1(3/2)+1=u5/25/2=25u5/2.\] Теперь подставим это в наш интеграл: \[12u3/2du=1225u5/2=15u5/2.\]
  4. Возвращаемся к переменной \(x\): Напомним, что \(u=cos(2x)\). Тогда \[15u5/2=15(cos(2x))5/2.\]
  5. Добавим константу интегрирования: Не забудем, что результат неопределенного интеграла всегда включает константу интегрирования \(C\): \[15(cos(2x))5/2+C.\]

Таким образом, решение нашего интеграла: \[cos3(2x)sin(2x)dx=15(cos(2x))5/2+C.\]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут