Найти решение интеграла

Это задание относится к предмету "Математика", разделом которого является "Интегральное исчисление" или просто "Интегралы".

Дана задача найти неопределенный интеграл: \[ \int \sqrt{\cos^3(2x)} \cdot \sin(2x) \, dx \] Рассмотрим его шаг за шагом:

1. Замена переменной: Обозначим \( u = \cos(2x) \). Тогда \( du = -2\sin(2x) \, dx \) или \( \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} du \).
2. Перепишем интеграл в новых переменных: У нас есть \(\sqrt{\cos^3(2x)}\). Поскольку \(u = \cos(2x)\), то \[ \sqrt{\cos^3(2x)} = \sqrt{u^3} = u^{3/2}. \] Вместо \(\sin(2x) \, dx\) подставляем \(-\frac{1}{2} du\), получаем: \[ \int \sqrt{\cos^3(2x)} \cdot \sin(2x) \, dx = \int u^{3/2} \cdot \left(-\frac{1}{2} du\right) = -\frac{1}{2} \int u^{3/2} \, du. \]
3. Вычислим интеграл: Интеграл от \(u^{3/2}\) равен: \[ \int u^{3/2} \, du = \int u^{(3/2)} \, du = \frac{u^{(3/2) + 1}}{(3/2) + 1} = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} u^{5/2}. \] Теперь подставим это в наш интеграл: \[ -\frac{1}{2} \int u^{3/2} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{5/2} = -\frac{1}{5} u^{5/2}. \]
4. Возвращаемся к переменной \(x\): Напомним, что \( u = \cos(2x) \). Тогда \[ -\frac{1}{5} u^{5/2} = -\frac{1}{5} (\cos(2x))^{5/2}. \]
5. Добавим константу интегрирования: Не забудем, что результат неопределенного интеграла всегда включает константу интегрирования \(C\): \[ -\frac{1}{5} (\cos(2x))^{5/2} + C. \]

Таким образом, решение нашего интеграла: \[ \int \sqrt{\cos^3(2x)} \cdot \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{5} (\cos(2x))^{5/2} + C. \]