Найти произвольную постоянной интегрирования

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление (Неопределенные интегралы)

Дано:

Рассмотрим интеграл из задания 12.18: \int (x^2 - 2x) \sin^2 x \,dx

Решение шаг за шагом:

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество

Используем тождество: \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

Тогда подынтегральное выражение преобразуется:  (x^2 - 2x) \sin^2 x = (x^2 - 2x) \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} 

Разделим на два слагаемых:  \int (x^2 - 2x) \sin^2 x \,dx = \frac{1}{2} \int (x^2 - 2x) \,dx - \frac{1}{2} \int (x^2 - 2x) \cos 2x \,dx 

Шаг 2: Вычисляем первый интеграл

 \frac{1}{2} \int (x^2 - 2x) \,dx 

Разделим на два интеграла:  \frac{1}{2} \left( \int x^2 \,dx - 2 \int x \,dx \right) 

Вычисляем каждый интеграл:  \int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x \,dx = \frac{x^2}{2} 

Подставляем:  \frac{1}{2} \left( \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{x^3}{3} - x^2 \right) 

 = \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} 

Шаг 3: Вычисляем второй интеграл

 -\frac{1}{2} \int (x^2 - 2x) \cos 2x \,dx 

Рассмотрим интеграл \int x^2 \cos 2x \,dx. Используем интегрирование по частям, положив:

• u = x^2, тогда du = 2x dx
• dv = \cos 2x dx, тогда v = \frac{\sin 2x}{2}

Применяем формулу интегрирования по частям:  \int u dv = uv - \int v du 

Подставляем:  \int x^2 \cos 2x \,dx = x^2 \cdot \frac{\sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \cdot 2x \,dx 

 = \frac{x^2 \sin 2x}{2} - \int x \sin 2x \,dx 

Теперь решаем \int x \sin 2x \,dx снова по частям, положив:

• u = x, тогда du = dx
• dv = \sin 2x dx, тогда v = -\frac{\cos 2x}{2}

Применяем формулу:  \int x \sin 2x \,dx = -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{1}{2} \int \cos 2x \,dx 

 = -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x 

Подставляем обратно:  \int x^2 \cos 2x \,dx = \frac{x^2 \sin 2x}{2} - \left( -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x \right) 

 = \frac{x^2 \sin 2x}{2} + \frac{x \cos 2x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x 

Теперь вычисляем \int -2x \cos 2x \,dx, снова по частям:

• u = -2x, тогда du = -2dx
• dv = \cos 2x dx, тогда v = \frac{\sin 2x}{2}

Применяем формулу:  \int -2x \cos 2x \,dx = -2x \cdot \frac{\sin 2x}{2} + \int \sin 2x \,dx 

 = -x \sin 2x - \frac{1}{2} \cos 2x 

Подставляем в исходный интеграл:  -\frac{1}{2} \int (x^2 - 2x) \cos 2x \,dx 

 = -\frac{1}{2} \left( \frac{x^2 \sin 2x}{2} + \frac{x \cos 2x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + x \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x \right) 

 = -\frac{x^2 \sin 2x}{4} - \frac{x \cos 2x}{4} + \frac{1}{8} \sin 2x - \frac{x \sin 2x}{2} - \frac{1}{4} \cos 2x 

Шаг 4: Итоговый ответ

Объединяем все найденные части:  \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} - \frac{x^2 \sin 2x}{4} - \frac{x \cos 2x}{4} + \frac{1}{8} \sin 2x - \frac{x \sin 2x}{2} - \frac{1}{4} \cos 2x + C 

Где C — произвольная постоянная интегрирования.