Найти производную скалярного поля по направлению

Шаг 1: Определение предмета и раздела.

Предмет: Математика (или математическая физика).

Раздел: Математический анализ, дифференциальное исчисление в многомерном пространстве (градиент и производная по направлению).

Шаг 2: Постановка задачи.

Нам необходимо найти производную скалярного поля $\text{(}u(x,y,z)=\sqrt{xy}+\sqrt{9-z^2}\text{)}$ в точке $\text{(}M(1,1,0)\text{)}$ по направлению вектора $\text{(}\mathbf{I}=-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}\text{)}$.

Шаг 3: Пошаговое решение.

3.1. Нахождение градиента функции $\text{(}u(x,y,z)\text{)}$.

Градиент — это вектор, составленный из частных производных функции $\text{(}u(x,y,z)\text{)}$ по координатам $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}y\text{)}$, $\text{(}z\text{)}$. В координатах градиент записывается как:

$\text{[}\mathrm{\nabla }u=(\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y},\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}).\text{]}$

Найдем частные производные функции $\text{(}u\text{)}$.

1. Частная производная по $\text{(}x\text{)}$:

$\text{(}u(x,y,z)=\sqrt{xy}+\sqrt{9-z^2}.\text{)}$

Рассмотрим первую часть функции $\text{(}\sqrt{xy}\text{)}$. Для взятия производной по $\text{(}x\text{)}$, нам важно помнить, что производная $\text{(}\sqrt{f}\text{)}$ будет $\text{(}\frac{1}{2\sqrt{f}}\cdot f_x\text{)}$, где $\text{(}{f}_x\text{)}$ — производная от функции $\text{(}f\text{)}$ по $\text{(}x\text{)}$.

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot y.\text{]}$

Вторая часть функции $\text{(}\sqrt{9-z^2}\text{)}$ не зависит от $\text{(}x\text{)}$, поэтому её производная будет 0. Итак,

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=\frac{y}{2\sqrt{xy}}.\text{]}$

2. Частная производная по $\text{(}y\text{)}$:

Вторая часть функции $\text{(}\sqrt{9-z^2}\text{)}$ не зависит от $\text{(}y\text{)}$, значит, её производная тоже будет 0. Рассмотрим первую часть $\text{(}\sqrt{xy}\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot x.\text{]}$

Итак,

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=\frac{x}{2\sqrt{xy}}.\text{]}$

3. Частная производная по $\text{(}z\text{)}$:

Для взятия производной от второй части функции $\text{(}\sqrt{9-z^2}\text{)}$, применим формулу для производной корня:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\left(\sqrt{9-z^2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{9-z^2}}\cdot (-2z).\text{]}$

Приведя к упрощенному виду, получаем:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}=\frac{-z}{\sqrt{9-z^2}}.\text{]}$

Первая часть $\text{(}\sqrt{xy}\text{)}$ не зависит от $\text{(}z\text{)}$, поэтому её производная 0. Итак,

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}=\frac{-z}{\sqrt{9-z^2}}.\text{]}$

Таким образом, градиент имеет вид:

$\text{[}\mathrm{\nabla }u=(\frac{y}{2\sqrt{xy}},\frac{x}{2\sqrt{xy}},\frac{-z}{\sqrt{9-z^2}}).\text{]}$

3.2. Подставим координаты точки $\text{(}M(1,1,0)\text{)}$ в градиент.

Точка $\text{(}M(1,1,0)\text{)}$ имеет координаты $\text{(}x=1\text{)}$, $\text{(}y=1\text{)}$, $\text{(}z=0\text{)}$. Подставим эти значения в градиент.

1. Для первой компоненты:

$\text{[}\frac{y}{2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2\sqrt{1\cdot 1}}=\frac{1}{2}.\text{]}$

2. Для второй компоненты:

$\text{[}\frac{x}{2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2\sqrt{1\cdot 1}}=\frac{1}{2}.\text{]}$

3. Для третьей компоненты:

$\text{[}\frac{-z}{\sqrt{9-z^2}}=\frac{-0}{\sqrt{9-0^2}}=0.\text{]}$

Таким образом, в точке $\text{(}M(1,1,0)\text{)}$ градиент равен:

$\text{[}\mathrm{\nabla }u(1,1,0)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0).\text{]}$

3.3. Нормируем вектор направления $\text{(}\mathbf{I}\text{)}$.

Дан вектор направления $\text{(}\mathbf{I}=-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}\text{)}$. Чтобы вычислить производную по направлению, нужно нормировать данный вектор, то есть сделать его единичной длины.

Найдем длину (модуль) вектора $\text{(}\mathbf{I}\text{)}$:

$\text{[}|\mathbf{I}|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.\text{]}$

Нормированный вектор $\text{(}{\mathbf{I}}_0\text{)}$, то есть вектор единичной длины, будет:

$\text{[}{\mathbf{I}}_0=\frac{1}{3}(-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k})=(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}).\text{]}$

3.4. Нахождение производной по направлению.

Производная скалярного поля по заданному направлению $\text{(}\mathbf{I}\text{)}$ вычисляется как скалярное произведение градиента функции и нормированного вектора направления:

$\text{[}{D}_{\mathbf{I}}u=\mathrm{\nabla }u(1,1,0)\cdot {\mathbf{I}}_0.\text{]}$

Скалярное произведение векторов $\text{(}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\text{)}$ и $\text{(}(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\text{)}$ вычисляется следующим образом:

$\text{[}{D}_{\mathbf{I}}u=(\frac{1}{2}\cdot -\frac{2}{3})+(\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3})+(0\cdot -\frac{1}{3}).\text{]}$

Посчитаем:

$\text{[}{D}_{\mathbf{I}}u=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+0=0.\text{]}$

Ответ:

Производная скалярного поля $\text{(}u(x,y,z)=\sqrt{xy}+\sqrt{9-z^2}\text{)}$ в точке $\text{(}M(1,1,0)\text{)}$ по направлению вектора $\text{(}\mathbf{I}=-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}\text{)}$ равна $\text{(}0\text{)}$.