Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Предмет: Математика (или математическая физика).
Раздел: Математический анализ, дифференциальное исчисление в многомерном пространстве (градиент и производная по направлению).
Нам необходимо найти производную скалярного поля \( u(x, y, z) = \sqrt{xy} + \sqrt{9 - z^2} \) в точке \( M(1, 1, 0) \) по направлению вектора \( \mathbf{I} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \).
Градиент — это вектор, составленный из частных производных функции \( u(x, y, z) \) по координатам \( x \), \( y \), \( z \). В координатах градиент записывается как:
\[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right). \]
Найдем частные производные функции \( u \).
\( u(x, y, z) = \sqrt{xy} + \sqrt{9 - z^2}. \)
Рассмотрим первую часть функции \( \sqrt{xy} \). Для взятия производной по \( x \), нам важно помнить, что производная \( \sqrt{f} \) будет \( \frac{1}{2\sqrt{f}} \cdot f_x \), где \( f_x \) — производная от функции \( f \) по \( x \).
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y. \]
Вторая часть функции \( \sqrt{9 - z^2} \) не зависит от \( x \), поэтому её производная будет 0. Итак,
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{2\sqrt{xy}}. \]
Вторая часть функции \( \sqrt{9 - z^2} \) не зависит от \( y \), значит, её производная тоже будет 0. Рассмотрим первую часть \( \sqrt{xy} \):
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x. \]
Итак,
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x}{2\sqrt{xy}}. \]
Для взятия производной от второй части функции \( \sqrt{9 - z^2} \), применим формулу для производной корня:
\[ \frac{\partial}{\partial z} \left( \sqrt{9 - z^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{9 - z^2}} \cdot (-2z). \]
Приведя к упрощенному виду, получаем:
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{-z}{\sqrt{9 - z^2}}. \]
Первая часть \( \sqrt{xy} \) не зависит от \( z \), поэтому её производная 0. Итак,
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{-z}{\sqrt{9 - z^2}}. \]
Таким образом, градиент имеет вид:
\[ \nabla u = \left( \frac{y}{2\sqrt{xy}}, \frac{x}{2\sqrt{xy}}, \frac{-z}{\sqrt{9 - z^2}} \right). \]
Точка \( M(1, 1, 0) \) имеет координаты \( x = 1 \), \( y = 1 \), \( z = 0 \). Подставим эти значения в градиент.
\[ \frac{y}{2\sqrt{xy}} = \frac{1}{2\sqrt{1 \cdot 1}} = \frac{1}{2}. \]
\[ \frac{x}{2\sqrt{xy}} = \frac{1}{2\sqrt{1 \cdot 1}} = \frac{1}{2}. \]
\[ \frac{-z}{\sqrt{9 - z^2}} = \frac{-0}{\sqrt{9 - 0^2}} = 0. \]
Таким образом, в точке \( M(1, 1, 0) \) градиент равен:
\[ \nabla u(1, 1, 0) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right). \]
Дан вектор направления \( \mathbf{I} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \). Чтобы вычислить производную по направлению, нужно нормировать данный вектор, то есть сделать его единичной длины.
Найдем длину (модуль) вектора \( \mathbf{I} \):
\[ | \mathbf{I} | = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3. \]
Нормированный вектор \( \mathbf{I}_0 \), то есть вектор единичной длины, будет:
\[ \mathbf{I}_0 = \frac{1}{3}(-2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}) = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right). \]
Производная скалярного поля по заданному направлению \( \mathbf{I} \) вычисляется как скалярное произведение градиента функции и нормированного вектора направления:
\[ D_{\mathbf{I}} u = \nabla u(1, 1, 0) \cdot \mathbf{I}_0. \]
Скалярное произведение векторов \( \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \) и \( \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) \) вычисляется следующим образом:
\[ D_{\mathbf{I}} u = \left( \frac{1}{2} \cdot -\frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \right) + \left( 0 \cdot -\frac{1}{3} \right). \]
Посчитаем:
\[ D_{\mathbf{I}} u = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 0 = 0. \]
Производная скалярного поля \( u(x, y, z) = \sqrt{xy} + \sqrt{9 - z^2} \) в точке \( M(1, 1, 0) \) по направлению вектора \( \mathbf{I} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \) равна \( 0 \).