Найти производную

Условие:

2. Пользуясь правилами дифференцирования найти производные 1 10 y x + +0,1x . x  x 2 y  2 (x + x-1). 2 y  x cos (sin x). 2 sin x cos x y  2 2 arctg , 1 x y x   2 ln 1 x y x   3. Найти производную от у по х cost sin t t x e y e t

Условие: 2. Пользуясь правилами дифференцирования
найти производные
1 10
y x + +0,1x .
x

x 2
y  2 (x + x-1). 2
y  x cos (sin x).
2
sin x
cos x
y 
2
2
arctg ,
1
x
y
x

 2
ln
1
x
y
x


3. Найти производную от у по х
cost
sin
t
t
x e
y e t

Решение:

Конечно! Давайте подробно разберем, как найти производные для данных функций, используя правила дифференцирования.

1. \( y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 0.1x^{10} \)

Шаг 1: Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

1. \( y = \sqrt{x} \) Перепишем \( \sqrt{x} \) как степенную функцию: \( x^{1/2} \) Правило дифференцирования степенной функции: \[ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \] Таким образом, \[ \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] 2. \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \) Перепишем \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) как степенную функцию: \( x^{-1/2} \) Используя то же правило: \[ \frac{d}{dx} x^{-1/2} = -\frac{1}{2} x^{-3/2} = -\frac{1}{2x^{3/2}} \] 3. \( y = 0.1x^{10} \) Используем правило для степенной функции: \[ \frac{d}{dx} 0.1x^{10} = 0.1 \cdot 10x^{9} = x^{9} \]

Шаг 2: Сложим все найденные производные.

\[ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 0.1x^{10}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x^{3/2}} + x^9 \]

2. \( y = 2(x^2 + x^{-1}) \)

Шаг 1: Найдем производную для внутренней функции.

1. \( y = x^2 \) \[ \frac{d}{dx} x^2 = 2x \] 2. \( y = x^{-1} \) \[ \frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2} \]

Шаг 2: Применим правило произведения для константы и функции.

\[ \frac{d}{dx}\left(2(x^2 + x^{-1})\right) = 2 \cdot \left(\frac{d}{dx}(x^2 + x^{-1})\right) \] \[ = 2(2x - x^{-2}) = 4x - \frac{2}{x^2} \]

3. \( y = x^2 \cos(\sin x) \)

Шаг 1: Используем правило произведения.

Правило произведения: \[ \frac{d}{dx} (u \cdot v) = u'v + uv' \] Обозначим: \( u = x^2 \), \( v = \cos(\sin x) \) Найдем производные: \[ u' = 2x \] Для \( v \): \[ v = \cos(\sin x) \] \[ v' = \frac{d}{dx} (\cos(\sin x)) = -\sin(\sin x) \cdot \cos x \]

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

22423 авторов готовы помочь тебе.
2402 онлайн

Время — это деньги!