Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя

Предмет и раздел:

Решим задания пошагово:

a) \(\lim_{x \to \infty} \frac{x - 2x^2 + 5x^4}{2 + 3x^2 + x^4}\)

1. Основной подход — определить старший порядок \(x\) (в числителе и знаменателе) и доминирующие члены.
2. Старший порядок числителя и знаменателя — \(x^4\).
3. Разделим числитель и знаменатель на \(x^4\):
   \[ \frac{x - 2x^2 + 5x^4}{2 + 3x^2 + x^4} = \frac{\frac{x}{x^4} - \frac{2x^2}{x^4} + \frac{5x^4}{x^4}} {\frac{2}{x^4} + \frac{3x^2}{x^4} + \frac{x^4}{x^4}} = \frac{\frac{1}{x^3} - \frac{2}{x^2} + 5} {\frac{2}{x^4} + \frac{3}{x^2} + 1}. \]
4. Устремляем \(x \to \infty\): дроби, содержащие \(\frac{1}{x^n}\), стремятся к нулю.
5. Итог:
   \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x - 2x^2 + 5x^4}{2 + 3x^2 + x^4} = \frac{5}{1} = 5. \]

б) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3x^2} - 1}{x^2 + x^3}\)

1. Числитель содержит разность: \(\sqrt{1 + 3x^2} - 1\). Применим рационализацию:
   \[ \sqrt{1 + 3x^2} - 1 = \frac{(1 + 3x^2) - 1^2}{\sqrt{1 + 3x^2} + 1} = \frac{3x^2}{\sqrt{1 + 3x^2} + 1}. \]
   Теперь предел приобретает вид:
   \[ \frac{\sqrt{1 + 3x^2} - 1}{x^2 + x^3} = \frac{\frac{3x^2}{\sqrt{1 + 3x^2} + 1}}{x^2 + x^3}. \]
2. Упрощаем дробь:
   \[ \frac{3x^2}{(\sqrt{1 + 3x^2} + 1)(x^2 + x^3)}. \]
3. Сократим \(x^2\) в числителе и знаменателе (для малых \(x\)):
   \[ \frac{3}{(\sqrt{1 + 3x^2} + 1)(1 + x)}. \]
4. Устремляем \(x \to 0\):
   • \(\sqrt{1 + 3x^2} \to 1\),
   • \(1 + x \to 1\).
5. Итог:
   \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3x^2} - 1}{x^2 + x^3} = \frac{3}{(1 + 1)(1)} = \frac{3}{2}. \]

в) \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{6x}}{1 - \cos{2x}}\)

1. Используем формулу \(1 - \cos{\alpha} = 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}\):
   \[ \frac{1 - \cos{6x}}{1 - \cos{2x}} = \frac{2\sin^2{3x}}{2\sin^2{x}} = \frac{\sin^2{3x}}{\sin^2{x}}. \]
2. Применим малый угол при \(x \to 0\): \(\sin{kx} \approx kx\). Тогда:
   \[ \frac{\sin^2{3x}}{\sin^2{x}} \approx \frac{(3x)^2}{x^2} = 9. \]
3. Итог:
   \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{6x}}{1 - \cos{2x}} = 9. \]

г) \(\lim_{x \to \infty} (x - 5)[\ln(x - 3) - \ln{x}]\)

1. Упростим разность логарифмов с помощью формулы: \(\ln{a} - \ln{b} = \ln{\frac{a}{b}}\):
   \[ \ln(x - 3) - \ln{x} = \ln{\frac{x - 3}{x}}. \]
2. Упростим аргумент логарифма:
   \[ \frac{x - 3}{x} = 1 - \frac{3}{x}. \]
   Тогда:
   \[ \ln{\frac{x - 3}{x}} = \ln{\left(1 - \frac{3}{x}\right)}. \]
3. Для малых \(\frac{1}{x}\), разложим логарифм в ряд Тейлора:
   \[ \ln{\left(1 - \frac{3}{x}\right)} \approx -\frac{3}{x}. \]
4. Подставим в выражение:
   \[ (x - 5)[\ln(x - 3) - \ln{x}] \approx (x - 5) \cdot \left(-\frac{3}{x}\right). \]
5. Упростим:
   \[ (x - 5) \cdot \left(-\frac{3}{x}\right) = -3 \cdot \frac{x - 5}{x}. \]
6. Разделим числитель и знаменатель:
   \[ \frac{x - 5}{x} = 1 - \frac{5}{x}. \]
7. Устремляем \(x \to \infty\):
   \[ -3 \cdot \left(1 - \frac{5}{x}\right) \to -3 \cdot 1 = -3. \]
8. Итог:
   \[ \lim_{x \to \infty} (x - 5)[\ln(x - 3) - \ln{x}] = -3. \]

Ответы:

a) \(5\)
б) \(\frac{3}{2}\)
в) \(9\)
г) \-3<\/span>

Задание

Относится к предмету математика, раздел математический анализ, тема — пределы функций.