Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

Задание относится к предмету "Математика" или "Математическая физика", раздел "Векторное исчисление" или "Дифференциальная геометрия".

Мы должны найти поток векторного поля \(\mathbf{a}\) через замкнутую поверхность \(S\). Векторное поле задано как: \[ \mathbf{a} = 17x \mathbf{i} + 7y \mathbf{j} + 11z \mathbf{k}, \] Поверхность \(S\) определяется уравнениями: \[ S : \begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ z = 2(x^2 + y^2), \\ y = x^2, \\ y = x. \end{cases} \] Поток векторного поля через замкнутую поверхность можно найти по формуле потока: \[ \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{a}) \, dV, \] где \(\nabla \cdot \mathbf{a}\) — дивергенция векторного поля, а \(V\) — объем, ограниченный поверхностью \(S\).

Шаг 1: Нахождение дивергенции \(\mathbf{a}\)

Дивергенция векторного поля \(\mathbf{a}\) определяется как: \[ \nabla \cdot \mathbf{a} = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}. \] Для нашего поля \(\mathbf{a} = 17x \mathbf{i} + 7y \mathbf{j} + 11z \mathbf{k}\):

• \[ \frac{\partial a_x}{\partial x} = 17, \]
• \[ \frac{\partial a_y}{\partial y} = 7, \]
• \[ \frac{\partial a_z}{\partial z} = 11. \]

Таким образом, \[ \nabla \cdot \mathbf{a} = 17 + 7 + 11 = 35. \]

Шаг 2: Нахождение объема поверхности \(S\)

Для этого необходимо определить объем \(V\), ограниченный поверхностью \(S\). Поверхность \(S\) определяется как: \[ z = x^2 + y^2 \] и \[ z = 2(x^2 + y^2). \] Эти два уравнения определяют объем между двумя параболоидами. Рассматриваем \(y = x^2\) и \(y = x\) как границы. Найдем пределы интегрирования. Площадь между \(y = x^2\) и \(y = x\) в пределах от \(0\) до \(1\).

Шаг 3: Вычисление потока

Объем между двумя параболоидами находим по двойному интегралу: \[ V = \iint_{D} (2(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)) \, dx \, dy = \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dx \, dy. \] Перейдем в полярные координаты: \[ x = r \cos \theta, \, y = r \sin \theta. \] \[ dA = r \, dr \, d\theta. \] Интегрирование будет проводиться в пределах: \[ r: 0 \text{ до } 1, \] \[ \theta: 0 \text{ до } 2\pi. \] \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \, dr \, d\theta. \] \[ V = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{1/4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}. \]

Шаг 4: Вычисление потока через поверхность \(S\)

Теперь вычисляем поток: \[ \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{a}) \, dV = 35 \cdot V. \] Подставляем найденный объем \(V\): \[ \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS = 35 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{35\pi}{2}. \] Итак, поток векторного поля \(\mathbf{a}\) через замкнутую поверхность \(S\) равен: \[ \frac{35\pi}{2}. \]