Найти площадь, заключенную между двумя функциями

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь, заключенную между двумя функциями. Для этого выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций

Чтобы найти точки пересечения функций f(x) = x^3 + x^2 - 16x - 16 и g(x) = 5x^2 - 80, приравняем их:

x^3 + x^2 - 16x - 16 = 5x^2 - 80.

Упростим уравнение, перенесем все в одну часть:

x^3 + x^2 - 5x^2 - 16x + 80 - 16 = 0,

x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = 0.

Теперь разложим это кубическое уравнение на множители. Попробуем подобрать корни, используя метод подстановки. Подставим различные значения x.

Подставляем x = 4:

4^3 - 4 \cdot 4^2 - 16 \cdot 4 + 64 = 64 - 64 - 64 + 64 = 0.

Таким образом, x = 4 — корень уравнения.

Разделим многочлен на (x - 4) с помощью схемы Горнера или деления столбиком:

x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = (x - 4)(x^2 - 16).

Теперь разложим x^2 - 16 как разность квадратов:

x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4).

Итак, уравнение принимает вид:

x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = (x - 4)^2 (x + 4).

Корни уравнения: x = -4 и x = 4 (корень x = 4 имеет кратность 2).

Шаг 2: Выразим разность функций

Теперь найдем разность функций, чтобы определить, какую функцию вычитать из другой:

f(x) - g(x) = (x^3 + x^2 - 16x - 16) - (5x^2 - 80),

f(x) - g(x) = x^3 + x^2 - 16x - 16 - 5x^2 + 80,

f(x) - g(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 64.

Это выражение уже было разложено ранее:

f(x) - g(x) = (x - 4)^2 (x + 4).

Шаг 3: Определим знак разности на интервалах

Корни разности: x = -4 и x = 4. Разобьем область на интервалы: (-\infty, -4), (-4, 4), (4, +\infty), и определим знак разности на каждом интервале.

1. На интервале (-\infty, -4):
   Подставим x = -5 в (x - 4)^2 (x + 4):
   (-5 - 4)^2 (-5 + 4) = 81 \cdot (-1) = -81.
   Знак: -.

2. На интервале (-4, 4):
   Подставим x = 0:
   (0 - 4)^2 (0 + 4) = 16 \cdot 4 = 64.
   Знак: +.

3. На интервале (4, +\infty):
   Подставим x = 5:
   (5 - 4)^2 (5 + 4) = 1 \cdot 9 = 9.
   Знак: +.

Шаг 4: Выразим площадь через интегралы

Площадь между функциями равна интегралу модуля разности функций. Учитывая знаки разности, интеграл будет:

 S = \int_{-4}^{4} |f(x) - g(x)| \, dx = \int_{-4}^{4} (x - 4)^2 (x + 4) \, dx. 

Шаг 5: Решим интеграл

Разложим (x - 4)^2:

(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16.

Тогда:

(x - 4)^2 (x + 4) = (x^2 - 8x + 16)(x + 4).

Раскроем скобки:

(x^2 - 8x + 16)(x + 4) = x^3 + 4x^2 - 8x^2 - 32x + 16x + 64 = x^3 - 4x^2 - 16x + 64.

Теперь площадь:

 S = \int_{-4}^{4} (x^3 - 4x^2 - 16x + 64) \, dx. 

Интегрируем по членам:

1. \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4},
2. \int -4x^2 \, dx = -\frac{4x^3}{3},
3. \int -16x \, dx = -8x^2,
4. \int 64 \, dx = 64x.

Подставим пределы интегрирования:

 S = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - 8x^2 + 64x \right]_{-4}^{4}. 

Вычислим на верхнем пределе x = 4:

 \frac{4^4}{4} - \frac{4 \cdot 4^3}{3} - 8 \cdot 4^2 + 64 \cdot 4 = \frac{256}{4} - \frac{4 \cdot 64}{3} - 8 \cdot 16 + 256 = 64 - \frac{256}{3} - 128 + 256. 

Приведем к общему знаменателю:

 64 - \frac{256}{3} - 128 + 256 = \frac{192}{3} - \frac{256}{3} + \frac{768}{3} = \frac{704}{3}. 

Вычислим на нижнем пределе x = -4:

Аналогично, подставляем x = -4 и вычисляем. Заметим, что результат будет тот же, так как функция симметрична относительно оси y.

Итак, площадь:

 S = 2 \cdot \frac{704}{3} = \frac{1408}{3}. 

Ответ: Площадь, заключенная между функциями, равна \frac{1408}{3}.