Найти площадь трапеции, ограниченной графиком функции

Определение предмета и раздела задания:

Данное задание относится к математике, а конкретно к разделу интегралов в теме "Площадь плоской фигуры".

Решение задания:

Нам нужно найти площадь трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), прямыми \( y = 0 \), \( x = 2 \) и \( x = 3 \).

По определению, площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = f(x) \), прямыми \( x=a \) и \( x=b \), а также осью \( y = 0 \), вычисляется как определённый интеграл:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

В нашем случае:

• \( f(x) = x^2 \),
• \( a = 2 \),
• \( b = 3 \).

Запишем интеграл для площади:

\[ S = \int_{2}^{3} x^2 \, dx \]

Теперь найдём этот интеграл:

1. Вычислим первообразную для \( x^2 \):

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \]

2. Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} \]

Это означает, что нужно сначала подставить верхний предел \( x = 3 \), а затем вычесть значение, полученное при подстановке нижнего предела \( x = 2 \).

\[ S = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} \]

Посчитаем:

\[ S = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{27 - 8}{3} = \frac{19}{3} \]

Таким образом, площадь трапеции равна:

Ответ:

Площадь трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), прямыми \( y = 0 \), \( x = 2 \) и \( x = 3 \), равна \( \frac{19}{3} \) или приблизительно \( 6.33 \) квадратных единиц.