Найти площадь поверхности ограниченную линиями

Это задание относится к предмету "математика", конкретно к разделу "аналитическая геометрия и интегральное исчисление".

Вам нужно найти площадь области, ограниченной двумя кривыми: \( y = (x+2)^2 \) и \( 2y^2 = x \). Рассмотрим каждую функцию по отдельности:

1. \( y = (x+2)^2 \) это парабола, с вершиной в точке (-2, 0), ветви параболы направлены вверх.
2. \( 2y^2 = x \) это также парабола, но ветви у этой параболы направлены вправо, и ее вершина находится в начале координат (0, 0).

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:

\[ y = (x + 2)^2, \]

\[ x = 2y^2. \]

Подставим \( x = 2y^2 \) в уравнение \( y = (x + 2)^2 \):

\[ y = (2y^2 + 2)^2. \]

Решим это уравнение:

\[ y = 4y^4 + 8y^2 + 4. \]

\[ 4y^4 + 8y^2 + 4 - y = 0. \]

\[ 4y^4 + 8y^2 - y + 4 = 0. \]

Теперь решим это уравнение численно или аналитически: Из анализа обнаруживаем, что это уравнение имеет решение при \( y = 1 \) и \( y = -1 \). Теперь найдем соответствующее значение \( x \):

Если \( y = 1 \):

\[ x = 2 \cdot 1^2 = 2. \]

Если \( y = -1 \):

\[ x = 2 \cdot (-1)^2 = 2. \]

Таким образом, точки пересечения кривых - \( (2, 1) \) и \( (2, -1) \).

Теперь найдем площадь между этими кривыми, интегрируя по оси \( x \) от \( x = -2 \) до \( x = 2 \):

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^2 [(x + 2)^2 - \frac{x^2}{2}] \, dx. \]

Рассчитаем внутренние части по отдельности:

\[ \int_{-2}^2 (x + 2)^2 \, dx \] и \[ \int_{-2}^2 \frac{x^2}{2} \, dx. \]

Первая часть:

\[ \int_{-2}^2 (x^2 + 4x + 4) \, dx. \]

Настроим соответственно:

\[ \int_{-2}^2 x^2 \, dx + \int_{-2}^2 4x \, dx + \int_{-2}^2 4 \, dx. \]

Выполним интегрирование:

\[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 + 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^2 + 4 \left[ x \right]_{-2}^2. \]

Вычислим значения:

\[ \left[ \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} \right] + 4 \left[ 2 - \frac{(-2)^2}{2} \right] + 4 \left[ 2 - (-2) \right]. \]

Получим:

\[ 2 \cdot \frac{8}{3} + 8 + 4 \cdot 4 = \frac{16}{3} + 24 = \frac{88}{3}. \]

Теперь вторая часть:

\[ \int_{-2}^2 \frac{x^2}{2} \, dx. \]

Проведем интегрирование:

\[ \frac{1}{2} \int_{-2}^2 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 = \frac{1/2} \left[ \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} \right] = \frac{8}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4/3}. \]

Теперь из результата первой части, будем вычитать результат второй части:

Площадь:

\[ \frac{88}{3} - \frac{4}{3} = \frac{84}{3} = 28. \]

Таким образом, площадь ограниченной области равна 28.