Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Данное задание относится к предмету математика, разделу математический анализ, тема — двойные интегралы и геометрические площади.

Задача: Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями \( y = (x-2)(x-6) \) и \( y=x-2 \).

1. Определим границы области.

Найдем точки пересечения данных линий:

Равенство \( y = (x-2)(x-6) \) и \( y = x-2 \) дает:

\[ (x-2)(x-6) = x-2. \]

Упростим уравнение:

\[ (x-2)(x-6) - (x-2) = 0, \]

\[ (x-2)((x-6)-1) = 0, \]

\[ (x-2)(x-7) = 0. \]

Решая это уравнение, получаем:

\[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = 7. \]

Таким образом, линии пересекаются в точках \( x = 2 \) и \( x = 7 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):

• При \( x = 2 \): \( y = 2 - 2 = 0 \).
• При \( x = 7 \): \( y = 7 - 2 = 5 \).

Итак, точки пересечения:

\[ (2, 0) \quad \text{и} \quad (7, 5). \]

Описание области интегрирования:

• Верхняя граница: \( y = x-2 \);
• Нижняя граница: \( y = (x-2)(x-6) \);
• Горизонтальные границы: \( x \in [2, 7] \).

2. Формула для площади через двойной интеграл:

Площадь плоской фигуры определяется как:

\[ S = \iint\limits_D 1 \, dx\,dy = \int\limits_{x=2}^{x=7} \int\limits_{y=(x-2)(x-6)}^{y=x-2} 1 \, dy\,dx. \]

3. Решим интеграл:

Сначала вычислим внутренний интеграл по \( y \):

\[ \int_{y=(x-2)(x-6)}^{y=x-2} 1 \, dy = \Big[y \Big]_{y=(x-2)(x-6)}^{y=x-2} = (x-2) - (x-2)(x-6). \]

Упростим:

\[ (x-2) - (x-2)(x-6) = (x-2) \big[1 - (x-6)\big] = (x-2)(7-x). \]

Теперь подставим это в интеграл по \( x \):

\[ S = \int_{x=2}^{x=7} (x-2)(7-x) \, dx. \]

Раскроем скобки:

\[ (x-2)(7-x) = 7(x-2) - (x-2)x = 7x - 14 - x^2 + 2x = -x^2 + 9x - 14. \]

Таким образом:

\[ S = \int_{2}^{7} (-x^2 + 9x - 14) \, dx. \]

4. Вычислим интеграл:

\[ \int_{2}^{7} (-x^2 + 9x - 14) \, dx = \Big[ -\frac{x^3}{3} + \frac{9x^2}{2} - 14x \Big]_{2}^{7}. \]

Сначала подставим \( x = 7 \):

\[ -\frac{7^3}{3} + \frac{9 \cdot 7^2}{2} - 14 \cdot 7 = -\frac{343}{3} + \frac{441}{2} - 98. \]

Теперь подставим \( x = 2 \):

\[ -\frac{2^3}{3} + \frac{9 \cdot 2^2}{2} - 14 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + \frac{36}{2} - 28. \]

Приведем результат к общему знаменателю и вычислим разность:

1. Для \( x = 7 \): \[ -\frac{343}{3} + \frac{441}{2} - 98 = -\frac{686}{6} + \frac{1323}{6} - \frac{588}{6} = \frac{49}{6}. \]
2. Для \( x = 2 \): \[ -\frac{8}{3} + \frac{36}{2} - 28 = -\frac{16}{6} + \frac{108}{6} - \frac{168}{6} = -\frac{76}{6}. \]

Вычислим разность:

\[ S = \frac{49}{6} - \left(-\frac{76}{6}\right) = \frac{49}{6} + \frac{76}{6} = \frac{125}{6}. \]

Ответ:

\( S = \frac{125}{6} \approx 20.83 \, \text{(единиц площади)}. \)