Найти площадь области, ограниченной графиком функции и осью ox

Данное задание относится к предмету математика, разделу интегральное исчисление. Цель задания - найти площадь области, ограниченной графиком функции и осью ox.

Вводные данные:

Нам дана парабола \( y = -x^2 + 4 \) и прямая \( y = 0 \) (ось \( Ox \)). Требуется найти площадь S фигуры, которая ограничена этой параболой и осью \( Ox \).

Решение:

1. Найти корни уравнения \( -x^2 + 4 = 0 \):

   \( -x^2 + 4 = 0 \\
   -x^2 = -4 \\
   x^2 = 4 \\
   x = \pm 2 \)

   Корни уравнения: \( x = -2 \) и \( x = 2 \). Эти точки являются пределами интегрирования, так как они обозначают точки пересечения графика функции с осью \( Ox \).

2. Найти площадь с помощью интеграла:

   Площадь заданной фигуры определяется интегралом от функции \( y = -x^2 + 4 \) на отрезке от \( -2 \) до \( 2 \):

   \[
   S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx
   \]

   Так как функция симметрична относительно оси \( Oy \), можно удвоить интеграл от \( 0 \) до \( 2 \):

   \[
   S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx
   \]

3. Вычисление интеграла:

   \[
   S = 2 \left( \int_{0}^{2} 4 \, dx - \int_{0}^{2} x^2 \, dx \right)
   \]

   Вычислим по отдельности:

   \[
   \int_{0}^{2} 4 \, dx = 4x \Big|_{0}^{2} = 4(2) - 4(0) = 8
   \]

   \[
   \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(0)^3}{3} = \frac{8}{3}
   \]

   Подставляя в основную формулу:

   \[
   S = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
   \]

Ответ:

Площадь области, ограниченной графиком функции \( y = -x^2 + 4 \) и осью \( Ox \), равна \( \frac{32}{3} \).

Надеюсь, это разъяснение понятно. Если есть еще вопросы по этой теме, задавайте!