Найти площадь между графиком функции

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь между графиком функции f(x) = x^3 - 9x^2 + 18x и осью Ox. Для этого необходимо:

1. Найти точки пересечения графика функции с осью Ox (нулевые точки функции).
2. Разбить область интегрирования на интервалы, где функция положительна и отрицательна, так как площадь всегда положительна.
3. Вычислить интегралы по каждому из интервалов, взяв их модули, и сложить результаты.

Шаг 1. Найдем точки пересечения с осью Ox

Для этого решим уравнение f(x) = 0:
 x^3 - 9x^2 + 18x = 0 
Вынесем x за скобки:
 x(x^2 - 9x + 18) = 0 
Разложим квадратный многочлен x^2 - 9x + 18 на множители:
 x^2 - 9x + 18 = (x - 3)(x - 6) 
Таким образом:
 x(x - 3)(x - 6) = 0 
Решения:
 x = 0, \, x = 3, \, x = 6 

Шаг 2. Определим знаки функции на интервалах

Разобьем числовую ось на интервалы:
(-\infty, 0), \, (0, 3), \, (3, 6), \, (6, +\infty).

Подставим тестовые точки из каждого интервала в функцию:

• На интервале (-\infty, 0), например, x = -1:
  f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 18(-1) = -1 - 9 - 18 = -28 (отрицательная).
• На интервале (0, 3), например, x = 1:
  f(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 18 \cdot 1 = 1 - 9 + 18 = 10 (положительная).
• На интервале (3, 6), например, x = 4:
  f(4) = 4^3 - 9 \cdot 4^2 + 18 \cdot 4 = 64 - 144 + 72 = -8 (отрицательная).
• На интервале (6, +\infty), например, x = 7:
  f(7) = 7^3 - 9 \cdot 7^2 + 18 \cdot 7 = 343 - 441 + 126 = 28 (положительная).

Знаки функции:

• f(x) < 0 на (-\infty, 0) и (3, 6).
• f(x) > 0 на (0, 3) и (6, +\infty).

Шаг 3. Вычислим площадь

Площадь между графиком функции и осью Ox равна сумме модулей интегралов на каждом из интервалов, где функция меняет знак.

3.1 Интеграл на (0, 3)

 \int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} (x^3 - 9x^2 + 18x) \, dx 
Вычислим интеграл:
 \int (x^3 - 9x^2 + 18x) \, dx = \frac{x^4}{4} - 3x^3 + 9x^2 + C 
Подставим пределы:
 \left[\frac{x^4}{4} - 3x^3 + 9x^2 \right]_{0}^{3} = \left(\frac{3^4}{4} - 3 \cdot 3^3 + 9 \cdot 3^2\right) - \left(\frac{0^4}{4} - 3 \cdot 0^3 + 9 \cdot 0^2\right) 
Вычислим:
 \frac{3^4}{4} - 3 \cdot 3^3 + 9 \cdot 3^2 = \frac{81}{4} - 81 + 81 = \frac{81}{4} 
Таким образом:
 \int_{0}^{3} f(x) \, dx = \frac{81}{4} 

3.2 Интеграл на (3, 6)

 \int_{3}^{6} f(x) \, dx = \int_{3}^{6} (x^3 - 9x^2 + 18x) \, dx 
Вычислим интеграл:
 \int (x^3 - 9x^2 + 18x) \, dx = \frac{x^4}{4} - 3x^3 + 9x^2 + C 
Подставим пределы:
 \left[\frac{x^4}{4} - 3x^3 + 9x^2 \right]_{3}^{6} = \left(\frac{6^4}{4} - 3 \cdot 6^3 + 9 \cdot 6^2\right) - \left(\frac{3^4}{4} - 3 \cdot 3^3 + 9 \cdot 3^2\right) 
Вычислим отдельно для x = 6:
 \frac{6^4}{4} - 3 \cdot 6^3 + 9 \cdot 6^2 = \frac{1296}{4} - 648 + 324 = 324 - 648 + 324 = 0 
И для x = 3: