Найти площадь между двумя кривыми, заданными функциями

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь между двумя кривыми, заданными функциями f(x) = x^2 + 4 и g(x) = 2x^2 - 8.

Шаг 1. Найдем точки пересечения функций

Для этого приравняем f(x) и g(x):
f(x) = g(x)
x^2 + 4 = 2x^2 - 8.

Перенесем все в одну сторону:
x^2 - 2x^2 + 4 + 8 = 0,
-x^2 + 12 = 0,
x^2 = 12.

Следовательно,
x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}.

Точки пересечения: x = -2\sqrt{3} и x = 2\sqrt{3}.

Шаг 2. Выясним, какая функция выше

Рассмотрим значение функций в промежутке между точками пересечения (например, в точке x = 0):

• f(0) = 0^2 + 4 = 4,
• g(0) = 2(0)^2 - 8 = -8.

Таким образом, на промежутке [-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}] функция f(x) лежит выше функции g(x).

Шаг 3. Формула для площади между кривыми

Площадь между двумя кривыми вычисляется по формуле:
A = \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) dx,
где a и b — границы интегрирования.

Подставим наши функции:
A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \left( (x^2 + 4) - (2x^2 - 8) \right) dx.

Упростим подынтегральное выражение:
(x^2 + 4) - (2x^2 - 8) = x^2 + 4 - 2x^2 + 8 = -x^2 + 12.

Итак,
A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \left( -x^2 + 12 \right) dx.

Шаг 4. Вычислим интеграл

Разделим интеграл на два слагаемых:
A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} -x^2 dx + \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} 12 dx.

Интеграл 1:

\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} -x^2 dx = -\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} x^2 dx.
Интеграл от x^2:
\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}.

Подставим пределы интегрирования:
-\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} = -\left( \frac{(2\sqrt{3})^3}{3} - \frac{(-2\sqrt{3})^3}{3} \right).

Вычислим:
(2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3},
(-2\sqrt{3})^3 = -24\sqrt{3}.

Подставим:
-\left( \frac{24\sqrt{3}}{3} - \frac{-24\sqrt{3}}{3} \right) = -\left( 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} \right) = -16\sqrt{3}.

Интеграл 2:

\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} 12 dx = 12 \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} dx.
Интеграл от dx:
\int dx = x.

Подставим пределы интегрирования:
12 \left[ x \right]_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} = 12 \left( 2\sqrt{3} - (-2\sqrt{3}) \right) = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}.

Шаг 5. Найдем площадь

Сложим результаты:
A = -16\sqrt{3} + 48\sqrt{3} = 32\sqrt{3}.

Ответ:

Площадь между кривыми равна 32\sqrt{3}.