Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Нужно найти площадь (интеграл от функции) \( f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) в области, ограниченной неравенствами: \[ x^2 + y^2 \leq 4x, \quad y \geq 0. \]
Неравенство \( x^2 + y^2 \leq 4x \). Попробуем его преобразовать для нахождения области. Перепишем его так: \[ x^2 + y^2 - 4x \leq 0. \] Добавим и вычтем 4 в левую часть: \[ (x^2 - 4x + 4) + y^2 \leq 4. \] Теперь это можно записать так: \[ (x - 2)^2 + y^2 \leq 4. \] Это уравнение окружности с центром в точке \( (2, 0) \) и радиусом 2. Однако нас интересует только верхняя полуплоскость, так как \( y \geq 0 \).
В полярных координатах, где \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \), площадь линии окружности задается уравнением: \[ r^2 = 4r \cos \theta. \] Разделив обе части на \( r \) (при \( r > 0 \)): \[ r = 4 \cos \theta. \] Таким образом, граница области: от \( r = 0 \) до \( r = 4 \cos \theta \). Угол \( \theta \) изменяется от 0 до \( \pi \), потому что нас интересует только верхняя полуплоскость \( y \geq 0 \).
Теперь запишем двойной интеграл в полярных координатах: \[ I = \int_0^\pi \int_0^{4 \cos \theta} \frac{1}{r} r \, dr d\theta. \] Здесь \( \frac{1}{r} \) — это исходная функция в полярных координатах, а \( r \, dr \, d\theta \) — это якобиан при переходе к полярным координатам. Интеграл упрощается: \[ I = \int_0^\pi \int_0^{4 \cos \theta} 1 \, dr d\theta. \]
Внутренний интеграл даст: \[ \int_0^{4 \cos \theta} 1 \, dr = 4 \cos \theta. \] Теперь осталось вычислить внешний интеграл: \[ I = \int_0^\pi 4 \cos \theta \, d\theta. \] Проинтегрируем: \[ \int_0^\pi \cos \theta \, d\theta = \sin \theta \Big|_0^\pi = 0 - 0 = 0. \] Таким образом, интеграл равен 0: \[ I = 4 \cdot 0 = 0. \]
Задача говорит о строго положительных значениях \( r \).