Найти площадь фигуры, заключенной между графиками функций на заданном интервале

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь фигуры, заключенной между графиками функций f(x) = -\frac{1}{4}x + 6 и g(x) = \frac{1}{8}(x^2 + 6x + 24) на заданном интервале [-4; 2].

Для этого мы воспользуемся определенным интегралом. Площадь фигуры между двумя кривыми определяется как:

 S = \int_{a}^{b} |g(x) - f(x)| \, dx 

Здесь g(x) — верхняя функция, а f(x) — нижняя функция (если они пересекаются, мы должны учитывать знак разности).

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций

Чтобы определить, где функции пересекаются, решим уравнение:
 f(x) = g(x) 

Подставим выражения для f(x) и g(x):
 -\frac{1}{4}x + 6 = \frac{1}{8}(x^2 + 6x + 24) 

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дробей:
 -2x + 48 = x^2 + 6x + 24 

Приведем все к стандартному виду квадратного уравнения:
 x^2 + 6x + 24 + 2x - 48 = 0 

 x^2 + 8x - 24 = 0 

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
 D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160 

Корни уравнения:
 x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{10}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{10} 

Это корни x_1 = -4 - 2\sqrt{10} и x_2 = -4 + 2\sqrt{10}. Однако они не лежат в интервале [-4; 2], что говорит о том, что функции на этом интервале не пересекаются.

Шаг 2: Определим, какая функция выше на интервале

Подставим крайние точки интервала в f(x) и g(x), чтобы сравнить значения:

1. Для x = -4:
    f(-4) = -\frac{1}{4}(-4) + 6 = 1 + 6 = 7, \quad g(-4) = \frac{1}{8}((-4)^2 + 6(-4) + 24) = \frac{1}{8}(16 - 24 + 24) = \frac{16}{8} = 2 
   Здесь f(x) > g(x).

2. Для x = 2:
    f(2) = -\frac{1}{4}(2) + 6 = -\frac{1}{2} + 6 = 5.5, \quad g(2) = \frac{1}{8}((2)^2 + 6(2) + 24) = \frac{1}{8}(4 + 12 + 24) = \frac{40}{8} = 5 
   Здесь f(x) > g(x).

Таким образом, на всём интервале [-4; 2] верхняя функция — это f(x), а нижняя — g(x).

Шаг 3: Найдем площадь фигуры

Площадь выражается как:
 S = \int_{-4}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx 

Подставим выражения для f(x) и g(x):
 S = \int_{-4}^{2} \left[ -\frac{1}{4}x + 6 - \frac{1}{8}(x^2 + 6x + 24) \right] \, dx 

Упростим подынтегральное выражение:
 -\frac{1}{4}x + 6 - \frac{1}{8}(x^2 + 6x + 24) = -\frac{1}{4}x + 6 - \frac{1}{8}x^2 - \frac{6}{8}x - \frac{24}{8} 

 = -\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{6}{8}x + 6 - 3 = -\frac{1}{8}x^2 - \frac{2}{4}x + 3 = -\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{2}x + 3 

Теперь интеграл:
 S = \int_{-4}^{2} \left( -\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{2}x + 3 \right) \, dx 

Вычислим по частям:

1. Для -\frac{1}{8}x^2:
    \int -\frac{1}{8}x^2 \, dx = -\frac{1}{8} \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{1}{24}x^3 

2. Для -\frac{1}{2}x:
    \int -\frac{1}{2}x \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{1}{4}x^2 

3. Для 3:
    \int 3 \, dx = 3x 

Подставим всё вместе:
 S = \left[ -\frac{1}{24}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 3x \right]_{-4}^{2} 

Шаг 4: Вычислим значения на границах

1. Для x = 2:
    -\frac{1}{24}(2)^3 - \frac{1}{4}(2)^2 + 3(2) = -\frac{1}{24}(8) - \frac{1}{4}(4) + 6 = -\frac{8}{24} - 1 + 6 = -\frac{1}{3} - 1 + 6 = \frac{10}{3} 

2. Для x = -4:
    -\frac{1}{24}(-4)^3 - \frac{1}{4}(-4)^2 + 3(-4) = -\frac{1}{24}(-64) - \frac{1}{4}(16) + (-12) = \frac{64}{24} - 4 - 12 = \frac{8}{3} - 16 = -\frac{40}{3} 

3. Разность значений:
    S = \frac{10}{3} - \left(-\frac{40}{3}\right) = \frac{10}{3} + \frac{40}{3} = \frac{50}{3} 

Ответ:

Площадь фигуры равна \frac{50}{3} единиц площади.