Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление, площади фигур, заданных кривыми.

Дано:

• \( y = x^2 + 1 \) (парабола, ветви направлены вверх),
• \( y = -x + 3 \) (прямая линия).

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

Решение:

1. Найдём точки пересечения кривых.

Для этого приравняем функции:

\[ x^2 + 1 = -x + 3. \]

Приведём уравнение к стандартному виду:

\[ x^2 + x - 2 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9. \]

Корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \]

\[ x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1. \]

Точки пересечения: \((-2, 3)\) и \((1, 2)\).

---

2. Определим, какая линия выше на интервале \([-2, 1]\).

Проверим значения \(y\) для \(x = 0\), между точками пересечения:

• Для \(y = x^2 + 1\): \(y = 0^2 + 1 = 1\).
• Для \(y = -x + 3\): \(y = -0 + 3 = 3\).

Значит, на данном интервале верхняя линия: \(y = -x + 3\), а нижняя: \(y = x^2 + 1\).

---

3. Запишем выражение для площади.

Площадь находится через интеграл:

\[ S = \int_{-2}^1 \left[(-x + 3) - (x^2 + 1)\right] dx. \]

---

4. Упростим подынтегральное выражение.

\[ (-x + 3) - (x^2 + 1) = -x - x^2 + 3 - 1 = -x^2 - x + 2. \]

---

5. Вычислим интеграл.

\[ S = \int_{-2}^1 (-x^2 - x + 2) dx = \int_{-2}^1 -x^2 dx + \int_{-2}^1 -x dx + \int_{-2}^1 2 dx. \]

Вычислим каждый из интегралов:

• Для \( \int -x^2 dx \):

\[ \int -x^2 dx = -\frac{x^3}{3}. \]

\[ \left[ -\frac{x^3}{3} \right]_{-2}^1 = \left(-\frac{1^3}{3} - \left(-\frac{(-2)^3}{3}\right)\right) = \left(-\frac{1}{3} - \left(-\frac{-8}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{7}{3}. \]

• Для \( \int -x dx \):

\[ \int -x dx = -\frac{x^2}{2}. \]

\[ \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^1 = \left(-\frac{1^2}{2} - \left(-\frac{(-2)^2}{2}\right)\right) = \left(-\frac{1}{2} - (-\frac{4}{2})\right) = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}. \]

• Для \( \int 2 dx \):

\[ \int 2 dx = 2x. \]

\[ \left[ 2x \right]_{-2}^1 = (2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2)) = 2 + 4 = 6. \]

---

6. Сложим все результаты:

\[ S = \frac{7}{3} + \frac{3}{2} + 6. \]

Приведём к общему знаменателю: Общий знаменатель: 6.

\[ S = \frac{14}{6} + \frac{9}{6} + \frac{36}{6} = \frac{59}{6}. \]

Ответ:

Площадь фигуры составляет:

\[ S = \frac{59}{6} \, \text{единиц площади} \, \left(\approx 9{,}83\right). \]