Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия, интегралы

Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x \), \( y = -x + 2 \), \( y = 0 \).

Решение:

1. Определяем область, ограниченную заданными линиями:
   • График \( y = x \) — это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом 1.
   • График \( y = -x + 2 \) — прямая с угловым коэффициентом -1 и свободным членом 2, проходящая через точки \( (0, 2) \) и \( (2, 0) \).
   • График \( y = 0 \) — ось \( x \).
2. Находим точки пересечения линий:
   • Точка пересечения \( y = x \) и \( y = -x + 2 \):
     \[ x = -x + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \, y = 1. \]
     Точка: \( (1, 1) \).
   • Точка пересечения \( y = x \) и \( y = 0 \):
     \[ y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0. \]
     Точка: \( (0, 0) \).
   • Точка пересечения \( y = -x + 2 \) и \( y = 0 \):
     \[ -x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2. \]
     Точка: \( (2, 0) \).
   Таким образом, область ограничена точками \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (2, 0) \).

---

3. Визуализация:
   • Точки \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (2, 0) \) образуют треугольник.
   • Фигура — треугольник, вычислим его площадь.

---

4. Формула для площади треугольника, заданного вершинами: Если треугольник задан вершинами \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \), то его площадь вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. \]
   Подставляем координаты \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (2, 0) \):
   \[ S = \frac{1}{2} \left| 0(1 - 0) + 1(0 - 0) + 2(0 - 1) \right|. \]
   Упрощаем:
   \[ S = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - 2 \right| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1. \]

Ответ:

Площадь фигуры равна \( S = 1 \).