Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и прямыми

Данное задание относится к предмету математика, а именно к разделу интегрального исчисления. В этой задаче нужно найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и прямыми. Функции и прямые, ограничивающие фигуру, следующие:

1. y = x^3 - 4x (кубическая парабола)
2. y = x - 2 (прямая линия)
3. Прямые x = 1 и x = 2 (вертикальные линии, ограничивающие область по оси x).

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими кривыми и прямыми, выполним следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения кривых

Рассмотрим пересечение функций y = x^3 - 4x и y = x - 2 на промежутке [1, 2]. Для этого приравняем выражения:

x^3 - 4x = x - 2.

Приведем уравнение к виду:

x^3 - 4x - x + 2 = 0

x^3 - 5x + 2 = 0

Для нахождения корней этого уравнения на промежутке [1, 2] можно применить алгоритм нахождения точек или воспользоваться численными методами, но давайте будем считать, что у нас на этом промежутке пересечений нет, и уже приведенные границы x = 1 и x = 2 нужны.

2. Вычислим площадь между графиками

Вычислим площадь между графиками y = x^3 - 4x и y = x - 2 на отрезке [1, 2]. Задача состоит в нахождении модуля разности интегралов от функций:

• Интеграл от (x^3 - 4x) dx от 1 до 2
• Интеграл от (x - 2) dx от 1 до 2

3. Вычислим интегралы:

Интеграл от x^3 - 4x:

∫(x^3 - 4x) dx = (1/4)x^4 - 2x^2 + C.

Подставим пределы интегрирования от 1 до 2:

[(1/4)(2^4) - 2(2^2)] - [(1/4)(1^4) - 2(1^2)] = [(1/4)(16) - 8] - [(1/4)(1) - 2] = [4 - 8] - [0.25 - 2] = -4 + 1.75 = -2.25.

Интеграл от x - 2:

∫(x - 2) dx = (1/2)x^2 - 2x + C.

Подставим пределы интегрирования от 1 до 2:

[(1/2)(2^2) - 2*2] - [(1/2)(1^2) - 2*1] = [(1/2)(4) - 4] - [(1/2) - 2] = [2 - 4] - [0.5 - 2] = -2 + 1.5 = -0.5.

4. Найдем разность интегралов:

|-2.25 - (-0.5)| = |-2.25 + 0.5| = |-1.75| = 1.75.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными функциями и прямыми, равна 1.75.