Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, для чего необходимо использовать интегралы

Задание относится к предмету математика, раздел аналитическая геометрия и интегральное исчисление, так как требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, для чего необходимо использовать интегралы.

Для решения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения кривых:

Даны уравнения двух функций: \( y = x^2 - 2x - 4 \) и \( y = 2x + 2 - x^2 \). Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения:

\[ x^2 - 2x - 4 = 2x + 2 - x^2 \]

Приведем всё в одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 2x - 4 - 2x - 2 + x^2 = 0 \]

\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

Сократим уравнение на 2:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \]

Отсюда:

\[ x = 3, \quad x = -1 \]

Теперь у нас есть точки пересечения по оси \(x\): \(x = -1\) и \(x = 3\).

2. Найдем разность функций для интегрирования:

Теперь необходимо рассчитать площадь между кривыми на интервале от \(x = -1\) до \(x = 3\). Для этого определим, какая из функций выше на данном интервале.

Подставим значение \(x = 0\) в обе функции:

  • Для \(y = x^2 - 2x - 4\): \[ y = 0^2 - 2(0) - 4 = -4 \]
  • Для \(y = 2x + 2 - x^2\): \[ y = 2(0) + 2 - 0^2 = 2 \]

Следовательно, \(y = 2x + 2 - x^2\) выше, чем \(y = x^2 - 2x - 4\) на интервале от \(x = -1\) до \(x = 3\).

3. Запишем интеграл для площади:

Площадь между кривыми находится с помощью интеграла от разности этих функций:

\[ S = \int_{-1}^{3} \left[ (2x + 2 - x^2) - (x^2 - 2x - 4) \right] \, dx \]

Упростим подынтегральное выражение:

\[ (2x + 2 - x^2) - (x^2 - 2x - 4) = 2x + 2 - x^2 - x^2 + 2x + 4 = 4x + 6 - 2x^2 \]

Теперь нужно вычислить интеграл:

\[ S = \int_{-1}^{3} (4x + 6 - 2x^2) \, dx \]

4. Вычислим интеграл:

Разобьем интеграл на отдельные слагаемые:

\[ S = \int_{-1}^{3} 4x \, dx + \int_{-1}^{3} 6 \, dx - \int_{-1}^{3} 2x^2 \, dx \]

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

  1. \( \int 4x \, dx = 2x^2 \): \[ \left[ 2x^2 \right]_{-1}^{3} = 2(3^2) - 2((-1)^2) = 2(9 - 1) = 2(8) = 16 \]
  2. \( \int 6 \, dx = 6x \): \[ \left[ 6x \right]_{-1}^{3} = 6(3) - 6(-1) = 18 + 6 = 24 \]
  3. \( \int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} \): \[ \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = \frac{2(3^3)}{3} - \frac{2((-1)^3)}{3} = \frac{2(27)}{3} - \frac{2(-1)}{3} = 18 + \frac{2}{3} \]

Теперь соберём всё вместе:

\[ S = 16 + 24 - (18 + \frac{2}{3}) = 40 - 18 - \frac{2}{3} = 22 - \frac{2}{3} = \frac{66}{3} - \frac{2}{3} = \frac{64}{3} \]

5. Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 2x - 4\) и \(y = 2x + 2 - x^2\), равна \( \frac{64}{3} \).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн