Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Задание относится к предмету математика, раздел аналитическая геометрия и интегральное исчисление, так как требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, для чего необходимо использовать интегралы.
Для решения необходимо выполнить следующие шаги:
Даны уравнения двух функций: \( y = x^2 - 2x - 4 \) и \( y = 2x + 2 - x^2 \). Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения:
\[ x^2 - 2x - 4 = 2x + 2 - x^2 \]
Приведем всё в одну сторону уравнения:
\[ x^2 - 2x - 4 - 2x - 2 + x^2 = 0 \]
\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]
Сократим уравнение на 2:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \]
Отсюда:
\[ x = 3, \quad x = -1 \]
Теперь у нас есть точки пересечения по оси \(x\): \(x = -1\) и \(x = 3\).
Теперь необходимо рассчитать площадь между кривыми на интервале от \(x = -1\) до \(x = 3\). Для этого определим, какая из функций выше на данном интервале.
Подставим значение \(x = 0\) в обе функции:
Следовательно, \(y = 2x + 2 - x^2\) выше, чем \(y = x^2 - 2x - 4\) на интервале от \(x = -1\) до \(x = 3\).
Площадь между кривыми находится с помощью интеграла от разности этих функций:
\[ S = \int_{-1}^{3} \left[ (2x + 2 - x^2) - (x^2 - 2x - 4) \right] \, dx \]
Упростим подынтегральное выражение:
\[ (2x + 2 - x^2) - (x^2 - 2x - 4) = 2x + 2 - x^2 - x^2 + 2x + 4 = 4x + 6 - 2x^2 \]
Теперь нужно вычислить интеграл:
\[ S = \int_{-1}^{3} (4x + 6 - 2x^2) \, dx \]
Разобьем интеграл на отдельные слагаемые:
\[ S = \int_{-1}^{3} 4x \, dx + \int_{-1}^{3} 6 \, dx - \int_{-1}^{3} 2x^2 \, dx \]
Вычислим каждый интеграл по отдельности.
Теперь соберём всё вместе:
\[ S = 16 + 24 - (18 + \frac{2}{3}) = 40 - 18 - \frac{2}{3} = 22 - \frac{2}{3} = \frac{66}{3} - \frac{2}{3} = \frac{64}{3} \]
Площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 2x - 4\) и \(y = 2x + 2 - x^2\), равна \( \frac{64}{3} \).