Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Определение предмета и раздела

Задание относится к предмету математика, точнее к разделу, связанному с интегральным исчислением. В таких задачах вычисляется площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Эти задачи решают с помощью интегралов.

Разбор задачи

У нас даны две функции:

1. \( y = \frac{1}{4}x^3 \)
2. \( y = 2x \)

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми.

Шаг 1. Определим точки пересечения графиков

Для этого приравняем выражения для \( y \):

\[ \frac{1}{4}x^3 = 2x \]

Упростим уравнение. Сразу можно заметить, что обе части делятся на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\[ \frac{1}{4}x^2 = 2 \]

Тогда умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ x^2 = 8 \]

Отсюда:

\[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]

Также очевидно, что \( x = 0 \) является корнем уравнения (эту точку рассматривали отдельно, так как при упрощении теряли корень). Итак, точки пересечения — \( x = -2\sqrt{2} \), \( x = 0 \) и \( x = 2\sqrt{2} \).

Шаг 2. Перепишем площадь через интегралы

Будем искать площадь между двумя кривыми. Площадь выражается через интеграл как разность значений функций:

\[ S = \int_{x_1}^{x_2} \left( f(x) - g(x) \right) dx \]

Здесь \( f(x) = 2x \) (верхняя кривая), а \( g(x) = \frac{1}{4}x^3 \) (нижняя кривая). Пределы интегрирования \( x_1 = -2\sqrt{2} \), \( x_2 = 2\sqrt{2} \).

Получаем:

\[ S = \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \left( 2x - \frac{1}{4}x^3 \right) dx \]

Шаг 3. Вычисляем интеграл

Найдём первообразные для каждого выражения. Для \( 2x \) это:

\[ \int 2x \,dx = x^2 \]

Для \( \frac{1}{4}x^3 \) это:

\[ \int \frac{1}{4}x^3 \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{16}x^4 \]

Подставляем в интеграл:

\[ S = \left[ x^2 - \frac{1}{16}x^4 \right]_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \]

Шаг 4. Подсчёт значения интеграла

Вычислим для \( x = 2\sqrt{2} \):

\( x^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \)

\( x^4 = (2\sqrt{2})^4 = 64 \)

Подставляем в выражение:

\[ S_1 = 8 - \frac{1}{16} \cdot 64 = 8 - 4 = 4 \]

Теперь для \( x = -2\sqrt{2} \):

\( x^2 = (-2\sqrt{2})^2 = 8 \)

\( x^4 = (-2\sqrt{2})^4 = 64 \)

Подставляем:

\[ S_2 = 8 - \frac{1}{16} \cdot 64 = 8 - 4 = 4 \]

Шаг 5. Общий результат

Таким образом, площадь фигуры удовлетворяет условию симметрии, и результат для одного полуинтервала такой же, как для другого. Следовательно, общий результат:

\[ S = 4 - (-4) = 8 \]

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \frac{1}{4}x^3 \) и \( y = 2x \), равна 8 единицам площади.