Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = \ln x, осью OX и прямой y + x = 4.

1. Найдем точки пересечения

Подставим y = \ln x в уравнение прямой:

\ln x + x = 4.

Решим уравнение \ln x + x = 4. Это трансцендентное уравнение, его можно решить численно. Подбором находим, что при x = 1:

\ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 (не подходит),
при x = 3:

\ln 3 + 3 \approx 1.1 + 3 = 4.1 (близко).

Точное значение можно найти численными методами, но для приближенного решения возьмем x_0 \approx 3.

2. Определение границ интегрирования

Фигура ограничена слева осью OY (то есть x = 1) и справа точкой пересечения x_0 \approx 3.

3. Вычисление площади

Площадь между кривыми выражается интегралом:

 S = \int_{1}^{3} \left( (4 - x) - \ln x \right) dx. 

Рассчитаем интеграл:

 S = \int_{1}^{3} (4 - x - \ln x) dx. 

Разобьем на три интеграла:

 S = \int_{1}^{3} 4dx - \int_{1}^{3} xdx - \int_{1}^{3} \ln xdx. 

Вычислим каждый из них:

1. \int 4dx = 4x, значит:
   \left[ 4x \right]_{1}^{3} = 4(3) - 4(1) = 12 - 4 = 8.

2. \int xdx = \frac{x^2}{2}, значит:
   \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4.

3. \int \ln xdx решается по формуле \int \ln x dx = x \ln x - x:
   \left[ x \ln x - x \right]_{1}^{3} = (3 \ln 3 - 3) - (1 \ln 1 - 1) = (3 \ln 3 - 3) - (-1) = 3 \ln 3 - 2.

4. Подставляем значения:

 S = 8 - 4 - (3 \ln 3 - 2). 

Упрощаем:

 S = 8 - 4 - 3 \ln 3 + 2 = 6 - 3 \ln 3. 

5. Численное приближение

Так как \ln 3 \approx 1.0986, то:

 S \approx 6 - 3 \cdot 1.0986 = 6 - 3.2958 = 2.7042. 

Ответ: S = 6 - 3 \ln 3 \approx 2.7042.