Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика.
Раздел: Интегральное исчисление (находитесь в теме нахождения площади с использованием определённого интеграла).

Решение задачи:

Нам необходимо найти площадь \(S\) фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = x^2\), прямыми \(y = 0\), \(x = 4\) и \(x = 7\).

Площадь под кривой \(y = x^2\) на отрезке от \(x = 4\) до \(x = 7\) можно найти с помощью определённого интеграла. То есть:

\[ S = \int_{4}^{7} x^2 \, dx \]

Шаг 1: Найдём первообразную для функции \(x^2\)

Напомним, что первообразная от функции \(x^n\) (где \(n\) — это степень) равна:

\[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \]

В нашем случае \(n = 2\), поэтому первообразная от \(x^2\) будет:

\[ \frac{x^{3}}{3} \]

Шаг 2: Подставляем пределы интегрирования \(4\) и \(7\):

Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_4^7 \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{7^3}{3} - \frac{4^3}{3} \]

Шаг 3: Вычисляем кубы:

\[ 7^3 = 343 \quad \text{и} \quad 4^3 = 64 \]

Значит, получаем:

\[ S = \frac{343}{3} - \frac{64}{3} \]

Шаг 4: Вычитаем:

\[ S = \frac{343 - 64}{3} = \frac{279}{3} = 93 \]

Ответ:

Площадь \(S\) ограниченной трапеции равна \(93\) квадратным единицам.