Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций на интервале

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = (x-1)^2 и g(x) = -x^2 + 5 на интервале [-1; 2].

Шаг 1: Разберемся с функциями и их пересечением

Чтобы найти площадь между графиками функций, сначала нужно определить точки пересечения функций f(x) и g(x). Для этого приравняем их:
 f(x) = g(x) \implies (x-1)^2 = -x^2 + 5. 

Раскрываем скобки и приводим уравнение к стандартному виду:
 (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1, \quad \text{поэтому: } x^2 - 2x + 1 = -x^2 + 5. 

Переносим все в одну сторону:
 x^2 - 2x + 1 + x^2 - 5 = 0 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0. 

Упростим уравнение, разделив на 2:
 x^2 - x - 2 = 0. 

Решим квадратное уравнение методом разложения:
 x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0. 

Отсюда корни:
 x = 2 \quad \text{и} \quad x = -1. 

Таким образом, функции пересекаются в точках x = -1 и x = 2, что соответствует заданному интервалу.

Шаг 2: Выясним, какая функция выше

Для нахождения площади между графиками важно определить, какая из функций лежит выше на интервале. Для этого подставим значение x = 0 (точка внутри интервала) в обе функции:

• Для f(x):
  f(0) = (0-1)^2 = 1.
• Для g(x):
  g(0) = -0^2 + 5 = 5.

Очевидно, что g(x) выше, чем f(x), на всем интервале [-1; 2].

Шаг 3: Формула для площади между графиками

Площадь между двумя графиками вычисляется как:
 S = \int_{x_1}^{x_2} \big(g(x) - f(x)\big) \, dx, 
где x_1 = -1 и x_2 = 2.

Подставим выражения функций:
 S = \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 5) - (x-1)^2\big) \, dx. 

Раскроем скобки:
 S = \int_{-1}^{2} \big(-x^2 + 5 - (x^2 - 2x + 1)\big) \, dx = \int_{-1}^{2} \big(-x^2 + 5 - x^2 + 2x - 1\big) \, dx. 

Упростим подынтегральное выражение:
 S = \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big) \, dx. 

Шаг 4: Вычисление интеграла

Разделим интеграл на части:
 S = \int_{-1}^{2} -2x^2 \, dx + \int_{-1}^{2} 2x \, dx + \int_{-1}^{2} 4 \, dx. 

1. Интеграл от -2x^2:

 \int -2x^2 \, dx = -\frac{2x^3}{3}. 
На промежутке [-1; 2]:
 \left[-\frac{2x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = -\frac{2(2)^3}{3} + \frac{2(-1)^3}{3} = -\frac{16}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{14}{3}. 

2. Интеграл от 2x:

 \int 2x \, dx = x^2. 
На промежутке [-1; 2]:
 \left[x^2\right]_{-1}^{2} = (2)^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3. 

3. Интеграл от 4:

 \int 4 \, dx = 4x. 
На промежутке [-1; 2]:
 \left[4x\right]_{-1}^{2} = 4(2) - 4(-1) = 8 + 4 = 12. 

Шаг 5: Суммируем результаты

Теперь суммируем все части:
 S = -\frac{14}{3} + 3 + 12 = -\frac{14}{3} + 15 = \frac{-14 + 45}{3} = \frac{31}{3}. 

Ответ:

Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f(x) и g(x) на интервале [-1; 2], равна:
 S = \frac{31}{3}.