Найти площадь фигуры, ограниченной этими тремя кривыми

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, вычисление площади плоской фигуры

Дано:
y = x^2,
4y = x^2,
y = 4.

Перепишем второе уравнение:
4y = x^2 \implies y = \frac{x^2}{4}.

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими тремя кривыми.

Шаг 1. Найдем точки пересечения кривых

1. Пересечение y = x^2 и y = \frac{x^2}{4}:

x^2 = \frac{x^2}{4} \implies x^2 - \frac{x^2}{4} = 0 \implies \frac{3x^2}{4} = 0 \implies x = 0.
При x=0 обе функции равны y=0.

2. Пересечение y = x^2 и y = 4:

x^2 = 4 \implies x = \pm 2.

3. Пересечение y = \frac{x^2}{4} и y = 4:

\frac{x^2}{4} = 4 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4.

Шаг 2. Определим область интегрирования

На промежутке x \in [-2, 2] верхняя граница — y=4, нижняя — y = x^2.
На промежутке x \in [-4, -2] и x \in [2, 4] верхняя граница — y=4, нижняя — y = \frac{x^2}{4}.

Таким образом, фигура состоит из двух частей симметричных относительно оси Oy:

• центральная часть от -2 до 2, ограничена y=4 и y=x^2;
• две боковые части от -4 до -2 и от 2 до 4, ограничены y=4 и y=\frac{x^2}{4}.

Шаг 3. Вычислим площадь

Площадь фигуры равна сумме площадей трёх частей:

 S = \int_{-4}^{-2} \left(4 - \frac{x^2}{4}\right) dx + \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx + \int_{2}^{4} \left(4 - \frac{x^2}{4}\right) dx. 

Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то:

 S = 2 \int_{2}^{4} \left(4 - \frac{x^2}{4}\right) dx + \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx. 

Шаг 4. Вычислим интегралы

1. Центральный интеграл:

 \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right). 

Вычислим:

 = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{-8}{3}) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 - \frac{8}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) + 8 + \frac{8}{3} = 8 + 8 + \left(-\frac{8}{3} + \frac{8}{3}\right) = 16. 

2. Боковой интеграл:

 \int_{2}^{4} \left(4 - \frac{x^2}{4}\right) dx = \int_{2}^{4} 4 dx - \int_{2}^{4} \frac{x^2}{4} dx = 4(x)_{2}^{4} - \frac{1}{4} \left(\frac{x^3}{3}\right)_{2}^{4} = 4(4 - 2) - \frac{1}{4}\left(\frac{64}{3} - \frac{8}{3}\right) = 8 - \frac{1}{4} \cdot \frac{56}{3} = 8 - \frac{56}{12} = 8 - \frac{14}{3} = \frac{24}{3} - \frac{14}{3} = \frac{10}{3}. 

Шаг 5. Итоговая площадь

 S = 2 \cdot \frac{10}{3} + 16 = \frac{20}{3} + 16 = \frac{20}{3} + \frac{48}{3} = \frac{68}{3}. 

Ответ:

Площадь фигуры равна \frac{68}{3}.