Найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, определённый интеграл, площадь криволинейной трапеции

Нам даны две функции:

x = (y - 2)^3
x = 4y - 8

Найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми.

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков

Для этого приравняем правые части:

(y - 2)^3 = 4y - 8

Решим уравнение:

(y - 2)^3 = 4y - 8
Распишем левую часть:

y^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 4y - 8

Переносим всё в одну сторону:

y^3 - 6y^2 + 12y - 8 - 4y + 8 = 0
y^3 - 6y^2 + 8y = 0
Вынесем y:

y(y^2 - 6y + 8) = 0

Решаем:

1. y = 0
2. y^2 - 6y + 8 = 0
   Корни квадратного уравнения:

y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}
y = 2, \quad y = 4

Итак, точки пересечения: y = 0, y = 2, y = 4

Шаг 2: Найдём площадь между кривыми

Поскольку функции даны в виде x = f(y), используем интеграл по y:

Площадь между кривыми x_1 = f(y) и x_2 = g(y) на интервале [a, b]:

S = \int_a^b |f(y) - g(y)| \, dy

Определим, какая функция правее (имеет большее значение x) на каждом из промежутков.

Для этого сравним значения функций на интервале [0, 2] и [2, 4].

Промежуток [0, 2]:

Проверим в точке y = 1:

• x_1 = (1 - 2)^3 = -1
• x_2 = 4 \cdot 1 - 8 = -4

Значит, (y - 2)^3 > 4y - 8 на [0, 2]

Промежуток [2, 4]:

Проверим в точке y = 3:

• x_1 = (3 - 2)^3 = 1
• x_2 = 4 \cdot 3 - 8 = 4

Значит, 4y - 8 > (y - 2)^3 на [2, 4]

Шаг 3: Вычислим площадь

Разобьём интеграл на два:

 S = \int_0^2 \left[(y - 2)^3 - (4y - 8)\right] dy + \int_2^4 \left[(4y - 8) - (y - 2)^3\right] dy 

Первый интеграл:

 \int_0^2 \left[(y - 2)^3 - (4y - 8)\right] dy 

Вычислим:

(y - 2)^3 = y^3 - 6y^2 + 12y - 8
4y - 8 — без изменений

Разность:

(y - 2)^3 - (4y - 8) = y^3 - 6y^2 + 8y

Интеграл:

 \int_0^2 (y^3 - 6y^2 + 8y) dy = \left[\frac{y^4}{4} - 2y^3 + 4y^2\right]_0^2 

Подставим y = 2:

 \frac{16}{4} - 2 \cdot 8 + 4 \cdot 4 = 4 - 16 + 16 = 4 

Второй интеграл:

 \int_2^4 \left[(4y - 8) - (y - 2)^3\right] dy 

Аналогично:

4y - 8 - (y - 2)^3 = 4y - 8 - (y^3 - 6y^2 + 12y - 8) = -y^3 + 6y^2 - 8y

Интеграл:

 \int_2^4 (-y^3 + 6y^2 - 8y) dy = \left[-\frac{y^4}{4} + 2y^3 - 4y^2\right]_2^4 

Подставим:

• Для y = 4:
  -\frac{256}{4} + 2 \cdot 64 - 4 \cdot 16 = -64 + 128 - 64 = 0

• Для y = 2:
  -\frac{16}{4} + 2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 = -4 + 16 - 16 = -4

Разность: 0 - (-4) = 4

Ответ:

S = 4 + 4 = 8

Площадь фигуры, ограниченной графиками, равна 8.