Найти площадь области между кривыми

Это задание по математике, раздел: интегральное исчисление.

Нам нужно найти площадь области между двумя кривыми \( f(x) = \sqrt{7x + 22} \) и \( g(x) = x + 4 \).

1. Найдем точки пересечения кривых \( f(x) \) и \( g(x) \). \[ \sqrt{7x + 22} = x + 4 \]
2. Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (\sqrt{7x + 22})^2 = (x + 4)^2 \] \[ 7x + 22 = x^2 + 8x + 16 \]
3. Преобразуем уравнение в стандартную форму квадратного уравнения: \[ x^2 + 8x + 16 = 7x + 22 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \]
4. Найдем корни этого квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ a = 1, \quad b = 1, \quad c = -6 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

   Таким образом, две точки пересечения имеют координаты: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]

5. Площадь области между кривыми можно выразить через интеграл: \[ A = \int_{-3}^{2} \left[ \sqrt{7x + 22} - (x + 4) \right] \, dx \]
6. Теперь вычислим этот интеграл: \[ A = \int_{-3}^{2} \sqrt{7x + 22} \, dx - \int_{-3}^{2} (x + 4) \, dx \]
7. Вычислим каждый интеграл по отдельности: \[ \int \sqrt{7x + 22} \, dx \]

   Сначала осуществим замену переменной: \[ u = 7x + 22, \quad du = 7 dx, \quad dx = \frac{1}{7} du \] Подставим замену в интеграл: \[ \int \sqrt{7x + 22} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{7} \, du = \frac{1/7} \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{21} (7x + 22)^{3/2} + C \]

   Интеграл от \( x+4 \): \[ \int (x + 4) \, dx = \frac{x^2}{2} + 4x + C \]

8. Подставим пределы интегрирования и вычислим разницу: \[ \left. \frac{2}{21} (7x + 22)^{3/2} \right|_{-3}^{2} - \left. \left( \frac{x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-3}^{2} \]
9. Подставим пределы: Выражение для \( \frac{2}{21}(7x + 22)^{3/2} \) при подстановке: \[ \frac{2}{21} (7 \cdot 2 + 22)^{3/2} = \frac{2}{21} (36)^{3/2} = \frac{2}{21} \cdot 216 = \frac{432}{21} = \frac{144}{7} \] \[ \frac{2}{21}(7 \cdot -3 + 22)^{3/2} = \frac{2}{21}(1)^{3/2} = \frac{2}{21} \] Выражение для \( \frac{x^2}{2} + 4x \) при подстановке: При \(x = 2\): \[ \frac{2^2}{2} + 4\cdot 2 = 2 + 8 = 10 \] При \(x = -3\): \[ \frac{(-3)^2}{2} + 4\cdot (-3) = \frac{9}{2} - 12 = -\frac{15}{2} \] Разность значений: \[ \left[ \frac{144}{7} - \frac{2}{21} \right] - \left[ 10 - \left(-\frac{15}{2}\right) \right] \]

   Сначала вычислим вторую часть: \[ 10 + \frac{15}{2} = \frac{20}{2} + \frac{15}{2} = \frac{35}{2} \] Теперь первая часть: \[ \frac{144 \cdot 3}{21 \cdot 3} - \frac{2}{21} = \frac{432}{63} - \frac{2}{21} = \frac{432}{63} - \frac{6}{63} = \frac{426}{63} = \frac{142}{21} \]

   Следовательно, \[ \frac{142}{21} - \frac{35}{2} = \frac{2 \cdot 142 - 35 \cdot 21}{2 \cdot 21} = \frac{284 - 735}{42} = \frac{-451}{42} \]

   Итак, \[ A = -\frac{451}{42} \]

   Поскольку результат отрицательный, следует взять модуль: \[ A = \frac{451}{42} \]