Найти площадь между параболами

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление (определённые интегралы, площадь между кривыми)

Задание:

Найти площадь, заключённую между двумя параболами:

• [x = -4y^2]
• [x = 1 - 5y^2]

Шаг 1: Найдём точки пересечения парабол

Чтобы найти границы интегрирования, приравняем правые части уравнений:

 [-4y^2 = 1 - 5y^2] 

Решим уравнение:

 -4y^2 + 5y^2 = 1 \ y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm1 

Таким образом, границы интегрирования по переменной [y] — от [-1] до [1].

Шаг 2: Выразим площадь между кривыми

Поскольку функции заданы в виде [x = f(y)], мы вычисляем площадь вертикальной полоски, параллельной оси [x], от одной кривой до другой:

 S = \int_{-1}^{1} \left( (1 - 5y^2) - (-4y^2) \right) dy 

Упростим подынтегральное выражение:

 1 - 5y^2 + 4y^2 = 1 - y^2 

Теперь вычислим интеграл:

 S = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) dy 

Шаг 3: Вычислим определённый интеграл

 \int_{-1}^{1} (1 - y^2) dy = \int_{-1}^{1} 1 dy - \int_{-1}^{1} y^2 dy 

Рассчитаем каждый интеграл:

1. \int_{-1}^{1} 1 dy = [y]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2
2. \int_{-1}^{1} y^2 dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}

Итак:

 S = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} 

Ответ:

Площадь, заключённая между параболами [x = -4y^2] и [x = 1 - 5y^2], равна:

\boxed{\frac{4}{3}}